1) a. On tire successivement et avec remise boules dans une urne qui en contient ( noires et blanches). L'univers associé à l'expérience considérée possède donc éléments ; on considère de plus que les tirages sont équiprobables.

La probabilité de l'événement « toutes les boules tirées sont blanches » est alors :

La probabilité de l'événement « toutes les boules tirées sont noires » est aussi :

puisqu'il y a autant de boules noires que de boules blanches.

Enfin l'événement « toutes les boules tirées sont de la même couleur » est la réunion des événements disjoints « toutes les boules sont noires » et « toutes les boules sont blanches », la probabilité cherchée est donc :

.

1) b. La probabilité de l'événement « la ième boule est blanche et les autres sont noires » est :

Or l'événement « on obtient exactement une boule blanche » est la réunion des événements disjoints « la ième boule tirée est blanche et les autres sont noires », variant de à , donc la probabilité cherchée est : .

1) c. L'événement est « on obtient des boules des deux couleurs » et l'événement est « on obtient au plus une boule blanche » donc l'événement n'est autre que « on obtient exactement une boule blanche » ; par suite, .

On remarque par ailleurs, que l'événement est en fait, le contraire de l'événement « toutes les boules tirées sont de la même couleur » ; par suite, .

Enfin, l'événement est la réunion des événements disjoints « toutes les boules sont noires » et « on obtient exactement une boule blanche » ; par suite : .

Donc :

Calcul de , et :

Pour étudier le sens de variations de la suite , on étudie le signe de .

Or :

De plus pour , donc et la suite est strictement croissante.

Les événements et sont indépendants si et seulement si c'est-à-dire si et seulement si ; soit si et seulement si .

Comme et que la suite est strictement croissante, les événements et sont indépendants si et seulement si .