Introduction
Durée : 60 minutes
Niveau : moyen
Énoncé de l'exercice :
Une expérience aléatoire qui conduit à
issues 
dont les probabilités respectives sont toutes égales à
est réalisée
fois.
La formule théorique du
1) Pour 
et 
, on pose 
la variable aléatoire égale au nombre de réalisation de l'issue 
sur les
expériences. Donner la loi de et son espérance mathématique 
.
On répète de façon indépendante
fois la même expérience.
Une expérience est une épreuve à deux issues : obtenir le résultat avec la probabilité
ou ne pas l'obtenir avec la probabilité 
.
Une épreuve conduit aux deux issues suivantes : soit le résultat est réalisé avec la probabilité
, soit il ne l'est pas avec la probabilité .
On répète de façon indépendante cette épreuve, désigne le nombre de réalisations du résultat ; par conséquent suit la loi binomiale de paramètre
et
. D'où 
.
2) Pour évaluer les écarts entre et , on introduit la variable aléatoire notée
définie par : 
.
Vérifier que 
où 
désigne la fréquence d'apparition du résultat sur les
expériences.
On pourra remarquer que
ne dépend pas de l'indice de sommation.
Écrire 
.
. Or
ne dépend pas de l'indice
de sommation donc 
.
Or par définition, 
.
D'où 
.
On répète 10 000 fois les
lancers d'un dé équilibré et on observe les valeurs
de
obtenues. Le tableau suivant donne le nombre de séries pour lesquelles la valeur de
est strictement supérieure à l'entier
:
Déterminer la valeur
du
ème décile, puis celle
du
vingtile (ou
centile).
Revoir les définitions des déciles et vingtiles.
Par exemple : le neuvième décile est la plus petite valeur
du caractère telle que les valeurs du caractère de
de la population étudiée soient inférieures ou égales à
.
Le
ème décile est la valeur
du caractère de la série telle que les valeurs du caractère de
de la population étudiée soient inférieures ou égales à
; ou encore 
.
Ici pour
des
séries de lancers, on obtient 
, et pour
des
séries de lancers, on obtient 
.
Le neuvième décile est
.
Ici pour
des
séries de lancers, on obtient 
, et pour
des
séries de lancers, on obtient 
.
Le dix-neuvième vingtile est
.
Le test du
On réalise une expérience analogue avec un dé dont on souhaite tester la régularité.
Lorsque 
: on rejette l'hypothèse de régularité du dé au seuil de
.
Lorsque 
: on rejette l'hypothèse de régularité du dé au seuil de
.
Parmi les
lancers, les
numéros sont sortis respectivement
,
,
,
,
et
fois.
1) Calculer la valeur de
dans ce cas.
Dans ce cas 
,
et 
.
1) 
, ici
et d'où
.
Le tableau des écarts est le suivant :
Donc 
.
On obtient 
.
2) Le dé est il régulier au seuil de
? Au seuil de
?
On convient de rejeter la régularité d'un dé de façon significative au seuil de
(ou de
) lorsque la valeur observée
de
dépasse le
ième décile (ou le
ième vingtile).
2) Pour le dé observé, .
- : au seuil de
, on décide de rejeter l'hypothèse de régularité du dé.
: au seuil de
, on ne peut pas rejeter l'hypothèse de régularité du dé.
Application du test du
Une simulation a été réalisée sur une pièce de monnaie équilibrée, l'étude des valeurs
de
a permis de constater que le
ème vingtile est égal à
.
On lance une autre pièce de monnaie
fois ; entre quelles valeurs doit être compris le nombre de faces obtenues pour que la pièce soit considérée comme équilibrée au seuil de
?
Désigner par
le nombre d'apparitions du côté face et par
le nombre d'apparitions du côté pile.
Exprimer
en fonction du nombre
d'apparition du côté face, ne pas oublier que 
.
. Ici
et
d'où
.
On désigne par
le nombre d'apparitions du côté face.
On désigne par
le nombre d'apparitions du côté pile.
or
donc
.
Par conséquent, 
.
Or le
ème vingtile est égal à
.
La pièce est donc considérée comme équilibrée au seuil de
si et seulement si 
.
Or 
et 
.
En conclusion, la pièce est considérée comme équilibrée au seuil de
si et seulement si le nombre de faces obtenues est compris entre
et
.
