Introduction
Durée : 90 minutes
Niveau : difficile
Énoncé de l'exercice
Introduction :
La durée de vie d'un individu est une variable aléatoire
à valeurs dans 
où l'événement 
signifie que l'individu est vivant à l'instant
.
On suppose que cet individu n'est pas mort-né donc 
et il n'est pas certain que cet individu soit immortel donc il existe un entier
positif tel que 
.
suit une loi de durée de vie sans vieillissement si la probabilité que l'individu soit vivant à l'instant
(
) sachant qu'il est vivant à l'instant
, ne dépend pas de
.
En formalisant on obtient :
pour tout
, 
,pour tout
,
, 
ne dépend pas de
.
Objectif :
Le but de cet exercice est de prouver que
suit une loi exponentielle de paramètre
.
1) Montrer que : pour
,
, 
.
ne dépend pas du choix de
, choisir judicieusement
.
Définition :
et
sont deux événements avec 
.
La probabilité de l'événement
sachant
, notée 
est définie par : 
.
On pourra remarquer que :
.
1) Pour tout
,
, ne dépend pas de
.
Donc .
Or , d'où 
.
2) Montrer que : pour
,
, 
.
Appliquer la définition des probabilités conditionnelles.
2) Pour
,
, 
.
En effet, 
car
.
3) Déduire des questions 1/ et 2/ que : pour
,
, 
.
3) D'après les questions 1/ et 2/, on a, pour tout
,
, 
.
On en déduit que : .
4) On pose pour
, 
.
a. Vérifier que : 
et que, pour tout réel
positif, 
.
b. Déduire de la question 3/ que : pour tous réels
et
positifs, 
.
a. Relire les données et ne pas oublier que 
est une probabilité.
4) a. 
De plus, pour tout
, et
est une probabilité donc 
soit .
b. Pour
,
, .
Par conséquent, .
1) Montrer que : pour tout entier
, 
.
1) Appliquer plusieurs fois l'équation fonctionnelle .
1) Remarquer que 
.
1) Pour tout entier
, 
.
En appliquant l'égalité , on obtient 
.
2) En déduire que : pour tout entier
, 
.
2) On pourra transformer l'égalité 
à l'aide de la fonction logarithme népérien.
2) Pour tout entier
, 
.
Or, pour tout réel
, 
, donc 
.
D'où 
.
3) On pose 
et pour tout entier
, 
.
a. Vérifier que :
.
b. Vérifier que : pour tout entier
, 
.
c. En déduire que la suite 
converge vers
.
a. Démontrer en premier lieu que
.
a. Justifier le fait que 
en utilisant la donnée du texte « il n'est pas certain que cet individu soit immortel donc il existe un entier
positif tel que ».
b. Un simple remplacement de 
dans l'expression de
conduit au résultat.
c. Utiliser une variable auxiliaire 
.
a. Vérifier que 
.
3) a. 
donc 
et
.
Or il existe un entier
tel que , c'est-à-dire tel que 
.
De plus 
, donc et
.
b. Pour tout entier
, 
.
Donc pour tout entier
, 
.
Posons 
, on obtient 
.
Or 
et 
donc 
.
Étude de la dérivabilité de la fonction
1) Montrer que la fonction
est décroissante sur .
Pour 
, comparer les événements 
et 
.
1) Soient
et
deux réels positifs tels que :
. Comparons 
et 
.
et 
.
Or, comme
, 
.
D'où 
et 
, par conséquent la fonction
est décroissante sur .
2) Soit
et soit
un entier strictement positif tels que : 
.
a. Montrer que : 
.
b. Montrer que la fonction
est dérivable en
et déterminer
.
a. A partir de , appliquer la décroissance de la fonction
.
b. Revoir la définition de la dérivabilité d'une fonction en
.
a. Montrer que : 
.
b. Revoir les théorèmes de comparaison pour calculer la limite 
.
a. Ne pas oublier que 
.
2) a. 
, or la fonction
est décroissante sur .
D'où 
.
Puis 
.
De plus , donc en multipliant membres à membres on obtient : 
.
C'est-à-dire : 
.
Ou encore .
2) b. Lorsque
tend vers
,
tend vers
.
Donc 
et 
.
Or la suite converge vers
.
Donc 
et 
.
D'après le théorème des gendarmes, 
.
Or d'où 
, ce qui signifie que la fonction
est dérivable en
et que 
.
3) a. Vérifier que : pour
,
, 
.
b. En déduire que la fonction
est dérivable sur .
c. Montrer que la fonction
est solution de l'équation différentielle : 
.
d. Exprimer pour tout réel
positif, en fonction de
.
a. La fonction
vérifie l'équation fonctionnelle .
b. Calculer la limite 
.
c. 
b. Revoir la définition de la dérivabilité d'une fonction en
.
d. Revoir les équations différentielles de la forme
.
3) a. Pour
,
, 
.
b. Or . Donc 
.
On obtient et on en déduit que la fonction
est dérivable en
. Donc la fonction
est dérivable sur .
c. D'après la question précédente, .
Donc, pour
, 
. Par conséquent la fonction
est solution de l'équation différentielle .
d. Les fonctions dérivables sur solutions de l'équation différentielle sont les fonctions définies sur par : 
où
est une constante réelle. Or donc
.
Donc pour
, 
.
1) a. Exprimer pour tout réel
positif,
en fonction de
.
b. Vérifier que
est la loi exponentielle de paramètre
dont on précisera la fonction densité
.
a. Quel est l'événement contraire de 
?
b. Définition :
La loi exponentielle de paramètre
sur a pour densité la fonction
définie sur par 
, où
est un réel strictement positif.
1) a. Pour tout réel
positif, 
.
b. Pour tout réel
positif, 
avec
.
On reconnaît la définition de la loi exponentielle de paramètre
et de fonction densité
définie sur par 
.
2) Pour tout réel
positif, on pose 
.
a. Calculer
en fonction de
.
b. Déterminer 
en fonction de
.
On note 
. Par définition, c'est l'espérance mathématique de la loi
. D'où 
.
a. Utiliser une intégration par parties.
b. Utiliser 
et 
.
a. On pourra poser 
et 
.
2) Pour tout réel
positif ? on pose 
.
a. On calcule 
à l'aide d'une intégration par parties.
On pose et donc 
et 
.
.
b. Or 
et 
donc 
.
