Calcul intégral - Calcul de primitives

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Calcul intégral

Calcul de primitives

Introduction

Durée :30 minutes

Niveau : moyen

Déterminer une primitive des fonctions et sur l'intervalle indiqué :

Rappel de cours

Le tableau de dérivation ci dessous permet de trouver les primitives des fonctions pour lesquelles on peut donner l'expression sous la forme d'une dérivée.

est une fonction dérivable sur un intervalle .

Fonctions	Intervalles de dérivabilité	Fonctions dérivées
avec entier,
	si non nulle sur
	I si u strictement positive sur I


	si strictement positive sur

1) Avec les fonctions usuelles :

avec et avec .

Solution détaillée

Soit avec . La fonction est continue sur donc admet des primitives sur . L'une de ces primitives est la fonction dérivable sur , définie par :.

Soit avec . est continue sur dont y admet des primitives dont l'une d'entre elles est la fonction définie et dérivable sur avec .

2) La forme :

avec et avec .

Solution détaillée

Soit avec . On pose , est dérivable sur et , donc on peut écrire sous la forme .

Comme est dérivable sur , une primitive sur de est la fonction définie par : .

Soit avec . On pose , est dérivable sur et , donc on peut écrire sous la forme .

Comme est dérivable sur , une primitive sur de est la fonction définie par : .

3) La forme :

avec et avec .

Solution détaillée

Soit avec . On pose , est dérivable sur et , donc on peut écrire sous la forme .

Comme est dérivable et strictement positive sur , une primitive sur de est la fonction définie par : .

Soit avec . On pose , est dérivable sur et , donc on peut écrire sous la forme .

Comme est dérivable et strictement positive sur , une primitive sur de est la fonction définie par : .

4) La forme ( et ) :

avec et avec .

Solution détaillée

Soit avec . On pose , est dérivable sur et , donc on peut écrire sous la forme .

Comme est dérivable sur , une primitive sur de est la fonction définie par : .

Soit avec . On pose , est dérivable sur et , donc on peut écrire sous la forme .

Comme est dérivable et ne s'annule pas sur , une primitive sur de est la fonction définie par :