Introduction
Durée : 30 minutes
Niveau : moyen
Sans aucun calcul, donner le signe de chacune des intégrales suivantes :
Signe de l'intégrale :
est une fonction continue sur un intervalle
,
et
deux éléments de
tels que
.
si
sur
, alors :
,
si
sur
, alors :
.
1)
La fonction
définie par
est continue et positive sur
donc l'intégrale
est positive.
2)
La fonction
définie par
est continue et négative sur
, donc l'intégrale
est négative.
3)
. Or la fonction
définie par
est continue et positive sur
, donc l'intégrale
est positive et
est négative.
4)
. Or la fonction
définie par
est continue et négative sur
, donc l'intégrale
est négative et
est positive.
Comparaison d'intégrales
Comparaison d'intégrales :
et
sont deux fonctions continues sur un intervalle
,
et
deux éléments de
tels que
.
Si pour tout
appartenant à
, alors :
.
1) Montrer que pour tout réel
de
:
.
donc
et
.
Comme ,
.
2) En déduire un encadrement de l'intégrale .
En intégrant sur
,
.
Donc et
.