Introduction
Durée :30 minutes
Niveau : moyen
1. En écrivant l'intégrale 
, utiliser une intégration par parties pour calculer pour
, l'intégrale 
.
Intégration par parties :
Soient
et
deux fonctions dérivables sur
et admettant des dérivées continues sur
. On a alors :
Théorème :
Soit
une fonction continue sur un intervalle
et
un réel appartenant à
.
La fonction 
est la primitive de
sur
qui s'annule en
.
Soient les fonctions
et
définies sur
par 
et
.
Les fonctions
et
sont dérivables sur
et les fonctions
et
sont continues sur
.
En appliquant la formule d'intégration par parties, on obtient pour
:
et 
.
Donc pour
, 
.
2. En déduire une primitive de la fonction
sur
.
La fonction
étant continue sur
, la fonction
définie sur
par est par définition la primitive de la fonction
s'annulant en
.
A l'aide d'une double intégration par parties, calculer 
.
Intégration par parties :
Soient
et
deux fonctions dérivables sur
et admettant des dérivées continues sur
. On a alors :
Soient les fonctions
et
définies sur
par
et
.
Les fonctions
et
sont dérivables sur
et les fonctions
et
sont continues sur
.
En appliquant la formule d'intégration par parties, on obtient :
On pose 
.
Soient les fonctions
et
définies sur
par
et
.
Les fonctions
et
sont dérivables sur
et les fonctions
et
sont continues sur
.
En appliquant la formule d'intégration par parties, on obtient :
D'où 
.
