Introduction
Durée : 45 minutes
Niveau : moyen
On pose 
avec 
.
Inégalité de la moyenne :
est une fonction continue sur un intervalle
,
et
deux éléments de
tels que 
,
et
sont deux réels.
Si pour tout
de
, 
, alors 
.
1) Étudier les variations de la fonction
sur
.
est dérivable sur
et pour tout réel
de
.
.
Or sur
,
donc le signe de
ne dépend que de celui de 
.
En utilisant la stricte croissance de la fonction
sur
, on obtient :
On en déduit que la fonction
est strictement croissante sur
et strictement décroissante sur
; d'où le tableau de variations de
.
2) En déduire un encadrement d'amplitude
de
.
D'après la question précédente, pour tout réel
de
, 
.
Or 
, 
et 
.
Donc pour tout réel
de
, 
.
La fonction
est continue sur
. D'après l'inégalité de la moyenne, on obtient 
.
Soit
une fonction continue sur
, telle que, pour tout
de
, .
Déterminer la limite de la suite de terme général 
avec
.
Inégalité de la moyenne :
-
est une fonction continue sur un intervalle
,
-
et
deux éléments de
tels que ,
et
sont deux réels.
Si pour tout
de
, , alors .
Pour tout
de
, .
Comme
est une fonction continue sur 
, d'après l'inégalité de la moyenne, on obtient : 
et 
.
Or 
donc, d'après le théorème des gendarmes, 
.
Soit
une fonction continue, monotone sur
, et vérifiant : 
(où
R ).
On pose pour 
, 
.
Inégalité de la moyenne :
-
est une fonction continue sur un intervalle
,
-
et
deux éléments de
tels que ,
et
sont deux réels.
Si pour tout
de
, , alors .
1) Montrer que : pour ,
est compris entre
et
.
est une fonction monotone sur
:
soit
est une fonction croissante sur
:Dans ce cas, si
, alors 
.Comme
est continue sur
, en intégrant sur
, on a :
et 
soit
est une fonction décroissante sur
:Dans ce cas, si
, alors 
.Comme
est continue sur
, en intégrant sur
, on a :
et 
Dans les deux cas
est compris entre
et
.
2) En déduire que 
.
On sait que donc 
et 
.
D'après le théorème des gendarmes, .
