Déterminants

Exo 8

Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.

Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.

Une solution détaillée vous est ensuite proposée.

Question

Calculer le déterminant : pour tout entier .

Indice

Calculez le déterminant pour des petites valeurs de , puis conjecturez une formule que vous démontrerez par récurrence.

Solution

Pour : .

Pour : .

Donc : .

Donc : .

On conjecture que : . On le démontre par récurrence.

Initialisation : Elle est déjà faite.

Hérédité : Soit tel que .

On décompose en somme de deux déterminants :

.

Donc : .

On transforme les colonnes par pour tout tout .

Donc : .

Donc : .

Conclusion : pour tout entier .

Remarque

L'exercice 7 est un cas particulier de cet exercice. Donc, on aurait pu reprendre la même méthode en isolant .

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