Exo 8
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Question
Calculer le déterminant :
pour tout entier
.
Calculez le déterminant pour des petites valeurs de
, puis conjecturez une formule que vous démontrerez par récurrence.
Pour
:
.
Pour
:
.
Donc :
.
Donc :
.
On conjecture que :
. On le démontre par récurrence.
Initialisation : Elle est déjà faite.
Hérédité : Soit
tel que
.
On décompose
en somme de deux déterminants :
.
Donc :
.
On transforme les colonnes par
pour tout tout
.
Donc :
.
Donc :
.
Conclusion :
pour tout entier
.
Remarque :
L'exercice 7 est un cas particulier de cet exercice. Donc, on aurait pu reprendre la même méthode en isolant
.