Exo 7
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Pour tout entier
, on définit le polynôme
.
Question
Montrer que
admet
racines distinctes
, ...,
dans
.
Raisonnez par l'absurde.
Dans
, le polynôme
admet
racines distinctes ou pas puisqu'il est de degré
.
Montrons qu'elles sont distinctes.
On raisonne par l'absurde en supposant que le polynôme a une racine multiple
.
On aurait donc :
. Or
.
Donc :
et
, donc
, donc
.
On aboutit à une contradiction car on aurait
et
.
Donc le polynôme
n'a pas de racine multiple.
Donc le polynôme
admet
racines distinctes
, ...,
dans
.
Question
Calculer le déterminant :
.
Décomposez la dernière colonne en somme de deux colonnes en isolant
.
Vous en déduirez une expression de
en fonction de
et d'un autre déterminant que vous calculerez.
.
Donc :
si
.
On transforme les colonnes par
pour tout
.
Donc :
.
, donc les racines de
sont non nulles. Donc
.
Donc
pour tout entier
.
Or :
, donc
.
Donc :
. Donc :
pour tout entier
.
On peut remarquer que cette expression est également valable pour
.
Et d'après les relations entre racines et coefficients :
et
.
Conclusion :
.
