Exo 6
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Question
Soit un entier
et
.
Calculer le déterminant d'ordre
:
.
Transformez les lignes ou les colonnes pour faire apparaître des zéros, puis développez le déterminant.
Vous exprimerez
en fonction de
.
Remarquez que
pour finir le calcul.
On transforme les lignes de
par
pour tout
.
Donc :
.
On développe suivant la première ligne :
.
On développe suivant la première colonne :
.
Donc :
.
Donc :
.
On peut remarquer que, pour tout
,
par transposition.
On a donc le système :
.
Donc :
.
Donc :
.
Donc, si
:
.
Si
:
.
Si
, on a
.
Et si
, on a :
pour tout entier
.
Donc si
, la suite de terme général
est arithmétique de raison
.
Donc :
pour tout entier
.
Or :
.
Donc
.
Cette expression est aussi valable si
.
Conclusion :
Si
:
.Si
:
.
Remarque :
On peut remarquer que la deuxième expression est la limite de la première lorsque
tend vers
.
