Exo 3
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Question
Soit un entier
et
.
Calculer :
.
Calculez le déterminant pour des petites valeurs de
, puis conjecturez une formule que vous démontrerez par récurrence.
Pour
:
.
Pour
:
.
On conjecture que :
et on le montre par récurrence double.
Initialisation : Elle est déjà faite.
Hérédité : Soit un entier
tel que :
et
.
On développe
suivant la première ligne.
.
.
Donc :
.
Conclusion :
pour tout entier
.
Remarque :
On pouvait aussi exprimer
en fonction de
et de
:
.
On obtient une récurrence linéaire d'ordre 2, donc on peut en déduire
en fonction de
.
