Exo 2
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Question
Soit un entier et .
Calculer : .
Calculez le déterminant pour des petites valeurs de , puis conjecturez une formule que vous démontrerez par récurrence.
Il s'agit d'un déterminant de Vandermonde.
Pour : .
Pour : par .
.
Donc : .
On conjecture que : et on le démontre par récurrence.
Initialisation : Elle est déjà faite.
Hérédité : Soit un entier tel que : .
Soit .
On transforme les colonnes par pour tout .
.
.
Donc : .
Donc : .
Donc : .
Conclusion : pour tout entier .