1) a. Étudier la fonction (variations / signe / limite).

b. Tracer la courbe représentative de dans un repère orthogonal . L'unité graphique est cm sur l'axe des abscisses et cm sur l'axe des ordonnées.

Solution détaillée

a. , .

, donc , . Ainsi est strictement croissante sur .

Comme , la fonction est positive ou nulle sur . De plus .

b.	Courbe représentative de f

2) désigne un réel de l'intervalle .

a.Calculer l'intégrale . Interpréter géométriquement cette intégrale.

b. Déterminer .

On admettra que est l'aire en unités d'aire de la partie du plan délimitée par , les axes de coordonnées et la droite d'équation .

Solution détaillée

a. Soit , .

b.

3) Le but de cette question est de calculer l'aire précédemment définie par une autre méthode (la méthode des rectangles).

Pour tout entier naturel , on pose .

a.Interpréter graphiquement , en introduisant les rectangles de base et de hauteur , où . Faire la figure lorsque .

b. Prouver que pour tout entier tel que , .

c. En déduire : puis que : .

d. Déterminer enfin .

Solution détaillée

a. exprime, en unités d'aire, la somme des aires des rectangles .

b. Pour tout entier tel que , la fonction est croissante sur l'intervalle donc , .

, en intégrant ces inégalités, on obtient :

Comme et , on obtient l'encadrement.

c. Par sommation membre à membre des inégalités obtenues dans la question b), on a :

d'où , en utilisant la relation de Chasles pour les intégrales et le fait que . Puisque , on a :

,

puis l'encadrement : .

d. et donc .

De plus, ,

donc .

D'après le théorème des gendarmes, .