Introduction
Durée : 60 minutes
Niveau : difficile
Soit
la fonction définie sur
par 
.
On appelle 
la représentation graphique de
dans un repère orthonormal 
du plan.
1) Etudier les variations de
, ainsi que les limites.
Dresser le tableau des variations de
.
est dérivable sur
.
Pour tout réel
, 
.
La fonction exponentielle étant strictement positive sur
, est du signe de
.
; 
; 
.
est donc strictement croissante sur
et strictement décroissante sur
.
et 
donc 
.
Par produit, 
.
, 
.
donc 
.
Puis, 
.
2) A l'aide d'une intégration par parties, calculer 
.
Posons :
et
. On a alors :
et
.
et
sont dérivables sur
et leurs dérivées
et
sont continues sur
. D'après la formule d'intégration par parties, on a :
3) Soit
un réel positif ; on considère
l'aire, en unités d'aire, de la partie du plan comprise entre l'axe des abscisses, la courbe, et les droites d'équation
et
.
A l'aide d'une intégration par parties, calculer
puis 
.
étant continue et positive sur l'intervalle 
, 
.
En procédant comme dans la question 2) :
On retrouve la valeur de
avec
.
et 
donc 
.
Pour tout entier 
, on pose 
.
1) a. Démontrer que pour tout
de l'intervalle
: 
.
b. En déduire, pour tout entier , l'encadrement : 
.
a. Utiliser un encadrement de
pour 
.
b. Voir le cours sur la comparaison d'intégrales.
et
étant deux fonctions continues sur un intervalle
,
et
réels de
tels que 
, si 
pour tout
de
, alors : 
.
a. Pour tout entier
non nul et pour tout
de l'intervalle
, on a : 
; comme la fonction exponentielle est croissante sur
, on obtient l'encadrement : 
. En multipliant par 
, on a : 
.
b. En intégrant sur l'intervalle
les inégalités précédentes, on a :
, 
Puis, 
. D'où, .
2) En intégrant par parties, montrer que, pour tout : 
.
Faire une intégration par parties sur 
.
, .
Posons :
et
. On a alors :
et
.
et
sont dérivables sur
et leurs dérivées
et
sont continues sur
. D'après la formule d'intégration par parties, on a :
3) Pour tout entier , on pose 
.
a. Exprimer
à l'aide de
.
b. En raisonnant par récurrence sur
, démontrer que
est un nombre entier pour tout entier .
c. Démontrer que pour tout entier , 
n'est pas un nombre entier.
d. En déduire que
n'est pas un nombre rationnel.
a. On montre que : , 
.
c. Utiliser les résultats des questions (B)1.b et (B)3.b pour prouver que 
est strictement compris entre deux entiers consécutifs.
d. Penser à utiliser un raisonnement par l'absurde.
d. On peut raisonner par l'absurde et supposer 
,
et
entiers non nuls.
a. ,
b. Soit
la proposition : «
est un entier ».
Au rang initial
, 
est vérifiée.
Supposons
vraie pour un entier ; d'après l'expression de
, si
est un entier alors
est un entier.
D'après le principe de récurrence,
est vraie pour tout entier .
c. D'après 1.b), 
donc 
. Or,
, 
, donc, puisque
est un entier, est strictement compris entre deux entiers consécutifs. Ainsi, n'est pas un entier.
d. On raisonne par l'absurde. Supposons que
, autrement dit ,
et
entiers non nuls.
, 
. Donc est un entier, ce qui est en contradiction avec le résultat de la question précédente.
Conclusion :
.
