Introduction
Durée : 90 minutes
Niveau : difficile
Soit
la fonction définie sur
par : 
.
On appelle 
sa courbe représentative dans un repère orthonormal 
du plan (unité graphique :
).
Le but de l'exercice est de calculer de deux façons l'intégrale 
.
1) a. Calculer
pour tout
de
.
Etudier la dérivabilité de
en
. Que peut-on en déduire pour la courbe ?
b. Donner le tableau de variation de
et construire la courbe .
c. On note
la partie du plan, limitée par la courbe , les droites d'équations
,
et la droite d'équation
.
Hachurer la surface
.
On note
l'aire de
exprimée en unités d'aire. Exprimer
à l'aide d'une intégrale.
2) Une première méthode de calcul de l'intégrale I.
Soit
la réflexion d'axe
d'équation
.
a. Soit
un point du plan et
l'image par
du point
.
Exprimer
et
en fonction de
et
.
b. Soit 
l'image de la courbe par la réflexion
. Donner une relation liant
et
dans le cas où
appartient à . En déduire une équation cartésienne de la courbe de la forme
.
Quel est l'ensemble de définition de la fonction
?
c. Construire la courbe sur le même graphique que .
d. Soit
la partie du plan limitée par la courbe , l'axe des abscisses et la droite
d'équation
.
On note
l'aire de
exprimée en unités d'aire.
Exprimer
à l'aide d'une intégrale, puis calculer
.
En déduire la valeur de .
3) Méthode de calcul avec changement de variable.
On appelle
et
les fonctions définies sur
par :
et 
.
On note
la fonction 
définie sur
.
a. Exprimer
à l'aide d'une intégrale. Calculer
.
b. Après avoir justifié la dérivabilité de
sur
, exprimer
à l'aide des fonctions
et
. Calculer
pour
.
c. Déterminer deux réels
et
tels que, pour tout 
: 
.
En déduire les primitives de la fonction 
sur
.
d. Donner l'expression de
pour
.
En déduire la valeur de
.
4) Soit
la partie du plan définie à la question 1.c) ; on considère alors le solide de révolution engendré par la rotation de
autour de l'axe 
.
a. Donner une formule permettant de calculer le volume de ce solide à l'aide d'une intégrale.
b. Calculer
, exprimé en unités de volume.
