La fraction est irréductible si et seulement si et sont premiers entre eux.

Or donc .

Donc et sont premiers entre eux si et seulement si et le sont.

Or est un nombre premier, il est donc premier avec tout entier qu'il ne divise pas. Par conséquent et sont premiers entre eux si et seulement si ne divise pas .

Or divise si et seulement si .

Donc divise si et seulement si il existe tel que .