Une équation diophantienne est une équation à coefficients entiers, et dont les inconnues sont entières.
On résout ces équations dans l'ensemble des couples d'entiers relatifs 
.
On pose : 
;
,
avec
et
premiers entre eux.
avec
et
premiers entre eux.
D'après le théorème de Bezout, il existe deux entiers relatifs
et
tels que : 
.
Soit
et
deux entiers naturels non nuls ;
est leur
.
D'après le théorème de Bezout il existe deux entiers relatifs
et
tels que :
.
Le but est de donner un algorithme permettant de déterminer
et
.
On met en œuvre l'algorithme d'Euclide et on calcule les restes successifs en fonction de
et
.Le dernier reste non nul est le
. On développe alors les calculs de façon à faire apparaître à chaque étape une écriture du reste de la forme
.
Déterminons des entiers relatifs
et
tels que :
.
et
.
soit
donc
,
soit
donc
,
soit
donc
,
soit
donc
,
.
Par conséquent, on a :
;
et
.
Or 
D'après le théorème de Gauss,
divise 
, ce qui équivaut à : « il existe un entier relatif
tel que 
».
Les solutions sont les couples de la forme 
avec
dans
.
