Place centrale des exponentielles complexes
Nous avons à présent les éléments théoriques pour démontrer la place prépondérante des exponentielles complexes en théorie et traitement du signal. Nous rappelons que la transformée de Fourier d'un signal correspond à le décomposer dans la base des exponentielles complexes. Pourquoi ces fonctions particulières plutôt que d'autres ? De fait, il existe d'autres transformées qui décomposent sur un autre ensemble de fonctions de bases. Pour mettre en évidence, la propriété unique des exponentielles complexes dans les systèmes causaux, linéaires et invariants, nous plaçons donc en entrée d'un tel système, l'exponentielle complexe de fréquence 
(régime harmonique) et nous regardons la sortie du système :
On ne peut pas faire grand-chose de ce produit de convolution parce que la réponse impulsionnelle est quelconque et partant, on ne peut expliciter la sortie. Par contre, on peut aisément aller plus avant si on passe dans l'espace réciproque, c'est-à-dire l'espace fréquentiel en prenant les transformées de Fourier des deux membres :
en appliquant le théorème de Plancherel, il vient :
On a ici appelé 
la transformée de Fourier de la réponse impulsionnelle plutôt que 
pour ne pas confondre avec la fonction de Heaviside ou fonction échelon. On se reportera aux propriétés de la transformée de Fourier du chapitre précédent pour le second facteur du second membre.
On se rappelle à présent la formule vue au chapitre 6 :
qu'on applique à :
Le produit du signal 
par l'impulsion de Dirac décalée
a pour effet de « figer » la fonction 
dans sa valeur échantillonnée qui est donc scalaire, complexe a priori.
Pour revenir à la description temporelle de la sortie du système qui répond à l'exponentielle complexe en entrée, il suffit de faire la transformée de Fourier inverse. La fonction 
étant devenue scalaire 
, par linéarité, il vient :
qu'on interprète aisément comme suit :
le passage de l'exponentielle dans le système se traduit par une simple multiplication par un scalaire. Ce scalaire étant dans le cas général un complexe qu'on peut écrire 
, il vient finalement :
Le passage de l'exponentielle en entrée se traduit par un gain réel et un retard pur. Les exponentielles peuvent être vues comme les vecteurs propres des systèmes causaux, linéaires et invariants. En ce sens, elles ont une place unique.
