Produit de convolution et transformation de Fourier
Le résultat précédent découvert sur le cas particulier du système RC est général et est connu sous le nom de théorème de Plancherel. Il importe de bien comprendre sa signification et l'importance théorique de la transformation de Fourier. Nous commençons par l'énoncer, puis nous le démontrons et enfin, nous interprétons son importance.
On a les deux résultats suivants (le second est admis sans démonstration mais la démonstration est très comparable à la démonstration du premier résultat lui démontré) :
Ces deux résultats relativement symétriques expriment une fois encore la dualité des représentations temporelles et fréquentielles. Le produit de convolution dans une représentation devient le produit direct dans la représentation duale. Avant de démontrer le premier résultat, nous allons en commenter l'importance. Un système physique causal, linéaire et invariant est modélisé de façon fonctionnelle par sa sortie comme produit de convolution entre son entrée et sa réponse impulsionnelle. Mais le calcul de ce produit de convolution n'est pas triviale en tant qu'intégrale. Si on passe dans l'espace dual ou réciproque, ce produit de convolution devient produit simple ou direct. On contourne donc la difficulté par passage dans l'espace dual. On peut ensuite revenir dans la représentation d'origine par transformation réciproque.
Démontrons à présent le premier résultat. La démonstration n'a rien de très complexe intrinsèquement mais il faut tout de même être familier de la théorie de l'intégration d'une part et surtout bien interpréter la signification des différentes variables en jeu.
Nous avons représenté ici explicitement les bornes d'intégration : l'intégration externe correspond à l'intégrale de Fourier qui porte sur le produit de convolution écrit explicitement par son intégrale. Nous combinons ensuite les opérations suivantes : changement de variable en 
soit 
(à 
constant) puis on échange l'ordre des intégrations en fréquence et en 
parce que ce sont des variables indépendantes. Il vient :
Le second résultat (la transformée de Fourier du produit simple donne le produit de convolution des transformées de Fourier) se démontre de manière analogue et nous laissons le soin au lecteur de le faire à titre d'exercice.
