Chapitre 6 : première formalisation mathématique

Pour formaliser proprement les signaux tant échantillonnés qu'analogiques, nous avons besoin d'un objet mathématique d'abord simple puis très subtil lorsqu'on passe dans l'espace de dimension infinie. Nous définissons ici l'objet simple puis nous passons de manière intuitive à l'objet subtil dont la formalisation mathématique est complètement hors du propos de ce cours. Fort heureusement, les approches intuitives de l'objet y compris de ses subtilités sont opérationnelles et permettent de modéliser de façon relativement juste les signaux et leurs traitement.

La fonction porte, notée généralement est définie comme suit : c'est la fonction qui vaut 1 entre -1/2 et +1/2 et qui est nulle partout ailleurs, mathématiquement :

pour et , pour .

Cette fonction semble tellement simple qu'il est difficile de comprendre à quoi elle pourra bien servir. Il nous faut d'abord apprendre à moduler son amplitude, sa largeur et à la translater comme bon nous semble.

Pour modifier son amplitude, il suffit de la multiplier par un facteur (a priori positif). On passe ainsi de à  . Cette opération ne pose aucune difficulté et le lecteur s'amusera à représenter la fonction pour une ou deux valeurs simples du facteur multiplicateur a.

Pour modifier ou moduler sa largeur, l'objectif est de construire la fonction qui vaut 1 non pas entre les deux valeurs figées, -1/2 et +1/2 mais deux valeurs (pour l'instant égales et opposées) soit -a/2 et +a/2. En fixant a, on a alors accès à une porte toujours symétrique (une fonction paire) mais de largeur quelconque. Il est aisé de voir qu'on obtient une telle porte de largeur quelconque à partir de la porte originelle, notée par dilatation de la variable t qui devient t/a.

Ainsi la porte de largeur quelconque s'écrira-t-elle . Pour en déterminer la largeur, il s'agit d'écrire l'équation qui formalise les discontinuités de la porte originelle à t=-1/2 et t=+1/2.

Ainsi, on écrit : t/a=-1/2, soit t=-a/2 et de façon analogue pour l'autre discontinuité, t=+a/2. Finalement, la largeur de la porte (l'intervalle sur lequel elle est non nulle) vaut a.

Il reste une dernière opération pour disposer d'une porte totalement flexible. Il s'agit de la translation qui permet de la placer n'importe où sur l'axe des abscisses. En d'autres termes, au lieu de la centrer sur t=0 avec les deux discontinuités symétriques par rapport à t=0, nous allons la centrer sur t=t0 quelconque. On montre qu'on obtient ce résultat à partir de la porte originelle par translation de la variable t qui devient t-t0. La porte translatée s'écrit alors . Pour s'en convaincre, on écrit l'équation qui formalise les discontinuités de la porte originelle selon :

soit et soit

Si on combine les trois transformations précédentes (facteur multiplicatif de l'amplitude, modification de la largeur et translation), on peut alors placer n'importe où sur l'axe des abscisses une porte de largeur quelconque et d'amplitude quelconque.

Une combinaison importante consiste à modifier amplitude et largeur à surface constante. Il est aisé de constater que l'aire ou la surface de la porte originelle est égal à 1 (c'est un carré de côté 1).

Pour que l'aire reste constante à 1, il suffit de modifier amplitude et largeur en proportions inverses. On obtient la porte . Elle est centrée sur t=0, d'amplitude 1/T et vaut 1 entre -T/2 et +T/2. C'est donc un rectangle de largeur T et de hauteur 1/T, soit d'aire égale à 1. Si de plus, on veut le centrer sur t0 quelconque, on obtient :