Chapitre 6 : première formalisation mathématique

Dans le contexte du signal analogique et de l'opération d'échantillonnage, nous avons besoin de définir l'impulsion de Dirac. Sur un plan mathématique, cet objet est complexe et doit être traité dans le cadre d'une théorie totalement hors de portée de ce cours, la théorie dite des distributions. On peut toutefois dans une grande mesure se contenter de présenter l'objet de manière un peu approximative mais très opérationnelle comme suit. Pour ce faire, nous partons de la porte et nous définissons l'impulsion de Dirac comme étant . Ainsi, l'amplitude de l'impulsion de Dirac est infinie (délicat), son support ou largeur est nulle et son aire est égale à 1. Ce n'est pas une fonction au sens propre du terme et pourtant l'objet est indispensable dans le contexte du signal.

Nous allons voir dans un premier temps comment l'impulsion de Dirac permet d'écrire le signal x(t) comme combinaison linéaire d'un ensemble de vecteurs de base. Pour ce faire, nous partons d'un signal échantillonné-bloqué qui a été construit comme suit. A partir d'un signal échantillonné sur une durée infinie, le signal redevient analogique par le maintien de la valeur échantillonnée jusqu'à la valeur échantillonnée suivante. Pour des questions de commodité formelle, le signal est échantillonné aux instants kT_e avec k qui varie de moins l'infini à plus l'infini et la valeur échantillonnée x(kT_e) est maintenue de manière symétrique autour de l'instant kT_e sur une durée T_e c’est-à-dire entre kT_e-T_e/2 et kT_e+T_e/2 selon la figure ci-dessous :

Pour décrire le signal analogique reconstitué à partir de sa version échantillonnée-bloquée, il faut et il suffit donc de sommer de telles fonctions portes lorsque k varie de de moins l'infini à plus l'infini si bien que le signal reconstitué (idéal parce que de durée infinie) s'écrit :

On peut réécrire le second membre de l'équation précédente en multipliant en haut et en bas par T_e pour obtenir :

On peut à présent revenir à la description du signal analogique d'origine en faisant tendre T_e vers 0 ce qui correspond à un échantillonnage infiniment dense. Si on pose kT_e= (les instants d'échantillonnage qui deviennent maintenant à variation continue) et T_e=d, alors l'expression devient :

parce que la somme discrète devient somme infinie et parce que :

En fait, l'équation précédente est une écriture impropre parce que l'impulsion de Dirac n'est pas une fonction et ne peut figurer sous une intégrale de manière rigoureuse. Les mathématiciens récusent cette formulation mais sur un plan opérationnel, elle permet de comprendre beaucoup d'expressions dans les chapitres qui suivent. En particulier, cette dernière équation peut être interprétée comme le vecteur x d'un espace vectoriel de dimension infinie décrit ici comme combinaison linéaire dans la base (infinie) des impulsions de Dirac décalées lorsque t varie de moins l'infini à plus l'infini. Elle est à mettre en rapport avec la première équation présentée dans ce chapitre dans laquelle le signal échantillonnée était décrit comme combinaison linéaire des vecteur delta.

Il faut compléter ce paragraphe par deux résultats importants qu'il ne faut pas confondre. Comme la nature mathématique précise de l'impulsion de Dirac (en fait c'est une distribution) est délicate, on ne les démontrera pas mais nous allons nous efforcer d'en comprendre la signification. Le premier s'écrit :

qu'on peut interpréter comme suit :

à gauche de l'équation figure le produit de deux fonctions du temps (même si l'impulsion de Dirac n'est pas à proprement parler une fonction). A droite, il s'agit bien aussi d'une fonction du temps. Comme l'impulsion de Dirac est nulle en dehors de t=0, le résultat est nul partout sauf en t=0 d'où la présence de l'impulsion de Dirac également dans le membre de droite.

Cette formule se généralise par :

Y a-t-il du sens à multiplier le Dirac par la valeur à l'origine de la fonction x(t) puisque en t=0, le Dirac est infini ? La réponse est oui et est liée au fait que si l'amplitude du Dirac est infini, son support est nul. Il faut donc comprendre le résultat comme suit :

la multiplication d'un vecteur (fonction du temps de ) par une impulsion de Dirac a pour effet de « figer » la valeur de la fonction à l'échantillon correspondant au centrage de l'impulsion de Dirac (ici 0). Le résultat étant encore nul partout sauf en une valeur, s'exprime encore sous forme d'impulsion de Dirac. Il faut prendre garde de ne pas écrire (erreur classique) :

qui est FAUX et qui signifierait que la fonction du temps est constamment égale à la valeur échantillonnée du vecteur d'entrée.

Par contre, on obtient :

qu'il faut lire comme suit : l'intégrale est la limite de la moyenne du signal autour de t=0 quand la durée sur laquelle cette moyenne est calculée tend vers 0. Cette limite converge vers la valeur échantillonnée x(0).

Il est nécessaire de bien connaître ces deux résultats et d'en comprendre la portée. Le premier sera capital dans l'opération d'échantillonnage puisque la multiplication par un Dirac correspond à l'opérateur d'échantillonnage.