Produit scalaire
Le produit scalaire pour un vecteur de 
est une généralisation évidente du classique produit scalaire de 
:
En particulier, si 
:
qui définit le carré de la norme du signal (l'énergie cf. supra).
Dans la suite du module, nous serons confronté à des signaux, non pas de 
mais de 
notamment lorsque nous convoquerons les exponentielles complexes pour leur capacité à représenter les fonctions trigonométriques.
Il faut donc définir le produit scalaire dans 
. Nous prenons comme contrainte le fait suivant :
nous voulons avoir :
comme précédemment. Avec la définition initiale, 
, ça ne colle pas en raison du caractère complexe des vecteurs. Par contre, si on définit le produit scalaire par :
où la barre représente la conjugaison complexe, alors :
ce qui était recherché.
Evidemment, si on a affaire à un signal de 
, la conjugaison est transparente et on retombe sur la définition originale. Nous avons donc étendu la définition du produit scalaire aux signaux de
.
Il reste à donner une définition du produit scalaire pour les signaux de
. On admet le résultat (que le lecteur saura s'approprier) et on se contente de noter que la somme discrète devient somme intégrale étendue de moins l'infini à plus l'infini, avec évidemment, la conjugaison complexe pour des signaux complexes.
