Exo 9
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Soit
l'équation différentielle :
.
Question
Résoudre l'équation
sur l'intervalle
en effectuant le changement de variable :
.
Déterminez et résolvez l'équation différentielle vérifiée par la fonction :
si
est solution de
.
Si
appartient à
, on pose :
, donc :
.
La fonction
est solution de
si :
.
Donc :
.
Soit
la fonction définie par :
.
Donc :
, et :
.
Donc la fonction
est solution de (E) sur
si et seulement si
est solution de l'équation :
sur
.
L'équation caractéristique
a pour racines :
et
.
Donc il existe deux réels
et
tels que :
.
Or :
, donc :
et
car
, donc :
.
Donc :
, et :
.
On obtient :
. Et cette fonction vérifie bien l'équation
sur
.
Conclusion : Les solutions de l'équation
sur
sont les fonctions
où
.
Question
Résoudre l'équation
sur l'intervalle
en effectuant le changement de variable :
.
Déterminez et résolvez l'équation différentielle vérifiée par la fonction :
si
est solution de
.
Si
appartient à
, on pose :
, donc :
.
La fonction
est solution de
si :
.
Donc :
.
Soit
la fonction définie par :
.
Donc :
, et :
.
Donc la fonction
est solution de
sur
si et seulement si
est solution de l'équation :
sur
.
L'équation caractéristique
a pour racines :
et
.
Donc il existe deux réels
et
tels que :
.
Or :
et :
.
Donc il existe deux réels
et
tels que :
.
Or :
, donc :
, et :
car
, donc :
.
Donc :
, et :
.
On obtient :
. Et cette fonction vérifie bien l'équation
sur
.
Conclusion : Les solutions de l'équation
sur
sont les fonctions
où
.
Question
Résoudre l'équation
sur l'intervalle
en effectuant le changement de variable :
.
Déterminez et résolvez l'équation différentielle vérifiée par la fonction :
si
est solution de
.
Le raisonnement est identique sur
en posant :
, donc :
.
On définit :
.
On montre que la fonction
est solution de l'équation :
sur
.
Conclusion : Les solutions de l'équation
sur
sont les fonctions
où
.
Remarque :
On pouvait aussi faire le changement de variable
et remarquer que la fonction
est solution de l'équation sur
si et seulement si la fonction
est solution de l'équation sur
.
Question
Résoudre l'équation
sur
.
Etudiez la continuité et la dérivabilité en
et en
.
Si
est une solution de l'équation
sur
, alors sur les intervalles
,
et
,
a l'expression trouvée dans les questions précédentes.
Donc :
.
La fonction
doit être continue et dérivable deux fois sur
.
Donc :
et :
. Donc :
.
Et :
car les fonctions
et
ne sont pas dérivables en
et en
.
On obtient donc :
qui est évidemment dérivable deux fois sur
et vérifie l'équation
.
Conclusion : Les solutions de l'équation
sur
sont les fonctions
où
.
