Equations différentielles

Exo 7

Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.

Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.

Une solution détaillée vous est ensuite proposée.

Soit l'équation différentielle : .

Question

Montrer qu'une fonction est solution de si et seulement si la fonction est solution d'une équation différentielle à coefficients constants.

Indice

Posez : , exprimez en fonction de sur et , et remplacez dans l'équation.

Solution

On se place dans l'intervalle ou .

Dans l'équation différentielle, on fait le changement de fonction : , donc : .

Donc : , et : .

L'équation équivaut à : .

Conclusion : Sur et sur , l'équation équivaut à si l'on pose .

Question

En déduire les solutions de sur les intervalles et .

Indice

Résolvez l'équation : .

Solution

L'équation : est une équation linéaire d'ordre à coefficients constants.

Son équation caractéristique : a pour racines : et .

Donc les solutions de l'équation différentielle homogène associée sont les fonctions : .

Et la fonction est solution évidente de l'équation avec second membre.

Donc les solutions de l'équation sont les fonctions : .

Conclusion : Les solutions de sur et sont les fonctions .

Question

En déduire les solutions de sur .

Indice

Etudiez la continuité et la dérivabilité en .

Solution

Une fonction est solution de sur si elle est continue et dérivable, et si sa restriction aux intervalles et est de la forme précédente : si et si .

Il faut donc que sa restriction à soit prolongeable par continuité en , et que ce prolongement soit dérivable en .

Or, au voisinage de : , et : .

Donc : .

La restriction de à est prolongeable par continuité en si et seulement si : , donc si : .

Donc : , et : .

Ce prolongement est dérivable en car : . Et : .

Le raisonnement est identique sur . Donc : , et : .

On obtient donc : si , et : .

Donc : si , et : .

Or : , et : . Donc : .

Donc la fonction obtenue est dérivable deux fois en . Et elle vérifie bien l'équation .

Conclusion : La fonction définie par si et est l'unique solution de sur .

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