Exo 7
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Soit
l'équation différentielle :
.
Question
Montrer qu'une fonction
est solution de
si et seulement si la fonction
est solution d'une équation différentielle à coefficients constants.
Posez :
, exprimez
en fonction de
sur
et
, et remplacez dans l'équation.
On se place dans l'intervalle
ou
.
Dans l'équation différentielle, on fait le changement de fonction :
, donc :
.
Donc :
, et :
.
L'équation
équivaut à :
.
Conclusion : Sur
et sur
, l'équation
équivaut à
si l'on pose
.
Question
En déduire les solutions de
sur les intervalles
et
.
Résolvez l'équation :
.
L'équation :
est une équation linéaire d'ordre
à coefficients constants.
Son équation caractéristique :
a pour racines :
et
.
Donc les solutions de l'équation différentielle homogène associée sont les fonctions :
où
.
Et la fonction
est solution évidente de l'équation avec second membre.
Donc les solutions de l'équation
sont les fonctions :
où
.
Conclusion : Les solutions de
sur
et
sont les fonctions
où
.
Question
En déduire les solutions de
sur
.
Etudiez la continuité et la dérivabilité en
.
Une fonction
est solution de
sur
si elle est continue et dérivable, et si sa restriction aux intervalles
et
est de la forme précédente :
si
et
si
.
Il faut donc que sa restriction à
soit prolongeable par continuité en
, et que ce prolongement soit dérivable en
.
Or, au voisinage de
:
, et :
.
Donc :
.
La restriction de
à
est prolongeable par continuité en
si et seulement si :
, donc si :
.
Donc :
, et :
.
Ce prolongement est dérivable en
car :
. Et :
.
Le raisonnement est identique sur
. Donc :
, et :
.
On obtient donc :
si
, et :
.
Donc :
si
, et :
.
Or :
, et :
. Donc :
.
Donc la fonction
obtenue est dérivable deux fois en
. Et elle vérifie bien l'équation
.
Conclusion : La fonction définie par
si
et
est l'unique solution de
sur
.
