Exo 7
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Soit l'équation différentielle : .
Question
Montrer qu'une fonction est solution de si et seulement si la fonction est solution d'une équation différentielle à coefficients constants.
Posez : , exprimez en fonction de sur et , et remplacez dans l'équation.
On se place dans l'intervalle ou .
Dans l'équation différentielle, on fait le changement de fonction : , donc : .
Donc : , et : .
L'équation équivaut à : .
Conclusion : Sur et sur , l'équation équivaut à si l'on pose .
Question
En déduire les solutions de sur les intervalles et .
Résolvez l'équation : .
L'équation : est une équation linéaire d'ordre à coefficients constants.
Son équation caractéristique : a pour racines : et .
Donc les solutions de l'équation différentielle homogène associée sont les fonctions : où .
Et la fonction est solution évidente de l'équation avec second membre.
Donc les solutions de l'équation sont les fonctions : où .
Conclusion : Les solutions de sur et sont les fonctions où .
Question
En déduire les solutions de sur .
Etudiez la continuité et la dérivabilité en .
Une fonction est solution de sur si elle est continue et dérivable, et si sa restriction aux intervalles et est de la forme précédente : si et si .
Il faut donc que sa restriction à soit prolongeable par continuité en , et que ce prolongement soit dérivable en .
Or, au voisinage de : , et : .
Donc : .
La restriction de à est prolongeable par continuité en si et seulement si : , donc si : .
Donc : , et : .
Ce prolongement est dérivable en car : . Et : .
Le raisonnement est identique sur . Donc : , et : .
On obtient donc : si , et : .
Donc : si , et : .
Or : , et : . Donc : .
Donc la fonction obtenue est dérivable deux fois en . Et elle vérifie bien l'équation .
Conclusion : La fonction définie par si et est l'unique solution de sur .