Equations différentielles linéaires scalaires du second ordre
Les fonctions considérées sont des fonctions définies sur un intervalle
de
et à valeurs dans
ou
.
Définition :
On appelle équation différentielle linéaire scalaire du second ordre toute équation
de la forme :
, où
,
et
sont des fonctions continues sur
.
On appelle équation homogène associée à
(ou équation sans second membre) l'équation
:
.
Par exemple, l'équation
:
est une équation différentielle linéaire scalaire du second ordre sur
.
En effet, le coefficient
de
ne s'annule pas. Donc elle équivaut à :
.
Et l'équation homogène associée
est :
.
Remarque :
Dans le cas où
est affecté d'un coefficient qui s'annule, on est amené à résoudre l'équation différentielle sur chaque intervalle où le coefficient est non nul, puis à raccorder les solutions trouvées.
Fondamental :
Propriétés
Soit
l'équation différentielle
, où
,
et
sont des fonctions continues sur
et soit
.
Toute solution de l'équation différentielle
est de classe
sur
.Théorème de Cauchy-Lipschitz : Il existe une unique solution
de
qui vérifie la condition initiale
et
.L'ensemble
des solutions de l'équation homogène est un espace vectoriel de dimension
. Toute base de
est appelée système fondamental de solutions de
.Si
est une solution de l'équation
, une fonction
est solution de
si et seulement si
appartient à
.
Pour obtenir un système fondamental de solutions de
, il faut donc trouver deux solutions
et
qui forment un système libre dans
.
Fondamental :
On appelle wronskien du couple
de solutions de
la fonction
définie par :
.
Le couple
de solutions de
est un système fondamental de solutions de
si et seulement si son wronskien n'est pas nul
Il suffit de trouver
tel que
. Alors :
.
Dans l'exemple précédent, on recherche des solutions de l'équation
sous forme polynômiale avec un degré
inconnu.
En raisonnant sur les degrés, on montre que
ou
, et on obtient les fonctions définies par :
et
.
Le wronskien vaut :
. Donc :
.
Donc le couple
est un système fondamental de solutions de
.
Donc l'ensemble des solutions de
est l'ensemble des fonctions :
où
.
La fonction
est solution de l'équation
.
Donc l'ensemble des solutions de
est l'ensemble des fonctions :
où
.
Fondamental :
Cas où les coefficients sont constants
On associe à
son équation « caractéristique » :
de racines
et
dans
.
Si
et
, on peut prendre :
et
.Si
et
, on peut prendre :
et
où
et
.Si
, on peut prendre
et
.
Dans le cas où l'on ne trouve pas une solution particulière évidente de
, on utilise la méthode de variation de constante.
Méthode :
Méthode de variation de constante
Soit
l'équation différentielle
, où
,
et
sont des fonctions continues sur l'intervalle
, et
l'équation homogène associée.
On détermine un système fondamental
de solutions de l'équation homogène
.On en déduit la solution générale de l'équation homogène :
où
.On cherche une solution de l'équation
sous la forme :
(ce qui revient à faire varier
et
).Si les fonctions
et
vérifient le système :
, alors
est solution de
.On en déduit les fonctions
et
en résolvant le système car son déterminant est le wronskien, donc il est non nul.Il suffit de trouver les primitives de ces fonctions pour avoir l'ensemble des solutions de l'équation
.
Dans l'exemple précédent (en supposant que l'on n'a pas trouvé de solution particulière), on pose :
.
Les fonctions
et
vérifient le système :
.
Donc :
et
.
En faisant apparaître les puissances de
, on remarque que :
et
.
On obtient :
et :
.
Donc les solutions de
sont de la forme :
.
On retrouve l'ensemble des solutions déjà trouvé puisque :
avec
.
