Exo 8
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Soient
et
deux sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel
tels que
.
Soit
un supplémentaire de
dans
.
Question
Démontrer que
et
sont supplémentaires dans
.
Démontrez successivement que
, puis que la somme est directe.
Montrons successivement que
, puis que la somme est directe.
Soit
. Il existe
et
tels que :
car
.Or :
. Donc il existe
et
tels que :
.Donc :
avec
et
. Donc :
.Or :
. Donc :
.
De plus :
, donc
. Donc :
.Or la somme
est directe, donc
. Donc :
.
Conclusion :
et
sont supplémentaires dans
.
