Exo 7
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Soient
,
et
trois sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel
.
Question
Démontrer que si
et
sont supplémentaires dans
et si
, alors
.
Démontrez que la somme est directe, et démontrez l'égalité par double inclusion.
Montrons successivement que
par double inclusion, puis que la somme est directe.
-
et
. Donc :
.
, donc :
.En particulier, si
:
.Or
. Donc
, donc
appartient à
, donc à
.Donc :
avec
et
. Donc :
.
car
et
sont supplémentaires, donc
.
Conclusion : Si
et
sont supplémentaires et si
, alors
.
