Exo 6
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Les questions suivantes sont indépendantes.
Question
Montrer que l'ensemble des fonctions constantes sur
et l'ensemble des fonctions
continues telles que
sont deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de l'espace vectoriel
des fonctions continues sur
à valeurs réelles.
Démontrez successivement que
et
sont des sous-espaces vectoriels, que la somme
est directe et que
.
Soient :
et
.
Montrons successivement que
et
sont des sous-espaces vectoriels, que la somme
est directe et que
.
-
n'est pas vide car la fonction nulle est constante sur
.
Soient
et
deux éléments de
et
un réel.Donc :
.Donc :
. Donc :
.Donc
est un sous-espace vectoriel de
.
-
n'est pas vide car la fonction nulle vérifie :
.
Soient
et
deux éléments de
et
un réel. Donc :
.Donc :
. Donc :
.Donc
est un sous-espace vectoriel de
.
Soit
. Donc :
avec
et
.Donc :
et
.Donc :
. Donc
est unique.Or :
.Donc, pour tout
, les fonctions
et
sont uniques.Donc la somme
est directe.
Soit
. On pose :
, puis
.Les fonctions
et
sont continues et il est évident que
et que
.De plus :
. Donc :
.Donc :
.
Conclusion :
et
sont deux sous-espaces supplémentaires de
.
Question
Montrer que l'ensemble des suites réelles
telles que
et l'ensemble des suites réelles
telles que
sont deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de l'espace vectoriel
des suites réelles.
Démontrez successivement que
et
sont des sous-espaces vectoriels, que la somme
est directe et que
.
Soient :
et
.
-
n'est pas vide car la suite nulle vérifie :
.
Soient
et
deux éléments de
et
un réel.Donc :
et
.La suite
a pour terme général :
.Donc :
. Donc :
.Donc
est un sous-espace vectoriel de
.
-
n'est pas vide car la suite nulle vérifie :
.
Soient
et
deux éléments de
et
un réel.Donc :
et
.La suite
a pour terme général :
.Donc :
. Donc :
.Donc
est un sous-espace vectoriel de
.
Soit
. Donc :
avec
et
.Donc :
et
.Or :
et
.Donc :
et
. Et
.Donc, pour tout
, les suites
et
sont uniques.Donc la somme
est directe.
Soit
. On pose :
et
.On définit ainsi deux suites
et
.De plus :
. Donc :
.Donc :
.
Conclusion :
et
sont deux sous-espaces supplémentaires de
.
