Exo 2
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Les questions suivantes sont indépendantes.
Question
Démontrer que l'ensemble des polynômes
à coefficients réels tels que
est un sous-espace vectoriel de
.
Démontrez qu'il n'est pas vide et qu'il est stable par combinaison linéaire.
est un espace vectoriel. Soit
.
n'est pas vide : le polynôme nul appartient à
car
.
Soient
et
appartenant à
et
.On a :
et
.Or :
.Donc :
.Donc :
.Donc :
.
Conclusion :
est un sous-espace vectoriel de
.
Question
Soit
une matrice carrée d'ordre
.
Démontrer que l'ensemble des matrices
carrées d'ordre
qui commutent avec
est un sous-espace vectoriel de
.
Démontrez qu'il n'est pas vide et qu'il est stable par combinaison linéaire.
est un espace vectoriel. Soit :
.
-
n'est pas vide : la matrice nulle appartient à
car
.
Soient
et
appartenant à
et
. On a :
et
.Donc :
.Donc :
.
Conclusion :
est un sous-espace vectoriel de
.
