Espaces vectoriels

Exo 5

Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.

Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.

Une solution détaillée vous est ensuite proposée.

Soient , et trois sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel .

Question

Démontrer que : .

Indice

si et seulement si et .

Solution

et , donc : et .

Conclusion : .

Question

Comparer et dans le cas où , et sont trois droites distinctes d'un plan.

Solution

, et sont trois droites distinctes d'un plan . Donc :

  • , donc est une droite.

  • , donc est un plan.

Donc : .

Conclusion : L'égalité n'est pas toujours vérifiée.

Question

Démontrer que si ou , alors : .

Indice

Utilisez la première question et démontrez l'inclusion inverse sous les hypothèses.

Solution

On a toujours : .

Supposons que : . Donc .

Pour tout , il existe tel que : .

donc , et donc . Donc appartient à , donc à .

Donc : .

Donc si , alors : .

C'est aussi vrai si car et jouent des rôles symétriques.

Conclusion : Si ou , alors .

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