Exo 5
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Soient
,
et
trois sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel
.
Question
Comparer
et
dans le cas où
,
et
sont trois droites distinctes d'un plan.
,
et
sont trois droites distinctes d'un plan
. Donc :
, donc
est une droite.
, donc
est un plan.
Donc :
.
Conclusion : L'égalité n'est pas toujours vérifiée.
Question
Démontrer que si
ou
, alors :
.
Utilisez la première question et démontrez l'inclusion inverse sous les hypothèses.
On a toujours :
.
Supposons que :
. Donc
.
Pour tout
, il existe
tel que :
.
donc
, et
donc
. Donc
appartient à
, donc à
.
Donc :
.
Donc si
, alors :
.
C'est aussi vrai si
car
et
jouent des rôles symétriques.
Conclusion : Si
ou
, alors
.