Sous-espaces vectoriels
Dans ce qui suit,
désigne un
- espace vectoriel.
Définition :
Une partie
est un sous-espace vectoriel de
si la restriction des lois à
munit
d'une structure d'espace vectoriel.
Une partie
est un sous-espace vectoriel de
si et seulement si
et :
.
Fondamental :
Propriétés :
Tout sous-espace vectoriel de
contient
.
Tout sous-espace vectoriel de
est stable par combinaison linéaire : pour tous les vecteurs
de
et tous les scalaires
, le vecteur
appartient à
.
Si
et
sont des sous-espaces vectoriels de
, alors
est un sous-espace vectoriel de
.
Par contre, la réunion de deux sous-espaces vectoriels n'est en général pas un sous-espace vectoriel.
Définition :
La somme de deux sous-espaces vectoriels
et
de
est :
.
C'est le plus petit sous-espace vectoriel de
contenant
.
Définition :
Si
et
sont des sous-espaces vectoriels de
, la somme
est directe si
. On la note
.
Une somme
est directe si et seulement si tout vecteur de
se décompose de manière unique en
où
et
.
Définition :
Deux sous-espaces vectoriels
et
sont supplémentaires si
.
Deux sous-espaces
et
sont supplémentaires si et seulement si :
.
Exemple :
L'ensemble
des applications paires et l'ensemble
des applications impaires de
dans
sont deux sous-espaces vectoriels supplémentaires dans l'espace vectoriel
des applications de
dans
.
En effet, toute application
peut s'écrire
avec
et
.
Et cette décomposition de
en somme d'une application paire et d'une application impaire est unique.
L'ensemble
des matrices symétriques et l'ensemble
des matrices antisymétriques sont deux sous-espaces vectoriels supplémentaires dans l'espace vectoriel
des matrices carrées d'ordre
.
En effet, toute matrice
peut s'écrire
avec
et
.
Et cette décomposition de
en somme d'une matrice symétrique et d'une matrice antisymétrique est unique.
Définition :
Si
on appelle sous-espace vectoriel engendré par
le plus petit sous-espace vectoriel contenant
.
On le note
ou
.
Le sous-espace engendré par
est l'intersection de tous les sous-espaces vectoriels qui contiennent
.
Le sous-espace engendré par
est l'ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs de
.
En particulier :
.