Exo 3
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Soient
et
deux sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel
.
Question
A quelle condition
est-il un sous-espace vectoriel de
?
Etudiez le cas où
est un sous-espace vectoriel de
et
.
On peut déjà remarquer que, si
ou si
, alors
est un sous-espace vectoriel de
.
Supposons que
est un sous-espace vectoriel de
et que
.
Donc il existe un élément
qui appartient à
et qui n'appartient pas à
.
Pour tout
:
, donc
ou
.
Si
appartenait à
, alors
appartiendrait à
, ce qui est faux.
Donc
, donc
appartient à
.
Donc, si
, alors
.
Conclusion :
est un sous-espace vectoriel de
si et seulement si
ou
.
