Introduction
Prérequis : Cours de spécialité mathématiques sur les similitudes directes et la définition d'une similitude indirecte.
Durée : 90 minutes
Niveau : facile
Énoncé de l'exercice :
Le plan est rapporté au repère orthonormé direct 
.
Notations :
Si
est une transformation du plan, on note
le point d'affixe
, image par
du point
d'affixe
.
Il s'agit dans cette partie de (re)démontrer des résultats du cours et plus particulièrement :
«
est une similitude indirecte si et seulement si son écriture complexe est de la forme 
où 
. »
1) Caractériser la transformation 
dont l'écriture complexe est 
.
Observez l'image
de
par la transformation (Cabri Java - env. 150Ko)
Rappel du cours sur le conjugué d'un nombre complexe :
Le conjugué du nombre complexe
de forme algébrique 
est 
.
Si
et
ont pour affixes
et 
alors
et
sont symétriques par rapport à l'axe réel.
1) Les points 
et 
sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses donc la transformation est la symétrie axiale par rapport à l'axe des abscisses.
2) Soit
la transformation dont l'écriture complexe est où .
Montrer que
est une similitude indirecte et déterminer son rapport en fonction de
.
Décomposer
à l'aide de .
Rappel du cours sur la composée de similitudes :
La composée de
similitudes du plan de rapport
et
est une similitude du plan de rapport
.
Cette composée n'est pas commutative.
Plus particulièrement, la composée de
isométries est une isométrie.
La composée de deux similitudes directes est directe.
La composée de deux similitudes indirectes est directe.
La composée d'une similitude directe et d'une similitude indirecte est indirecte.
2) donc
est la composée de la symétrie suivie de la transformation
dont l'écriture complexe est
qui est une similitude directe.
est la composée d'une similitude indirecte et d'une similitude directe donc
est une similitude indirecte.
Le rapport de la composée de similitudes est le produit des rapports : est une isométrie donc son rapport est
, le rapport de
est 
.
est une similitude indirecte de rapport .
3) Soit
une similitude indirecte et la symétrie par rapport à l'axe des abscisses. Montrer que l'écriture complexe de 
est 
où .
En déduire l'expression complexe de
.
Quelle est la composée de deux similitudes indirectes ?
Si
,
et
sont trois transformations telles que 
alors 
.
Rappel du cours sur la composée de similitudes :
La composée de
similitudes du plan de rapport
et
est une similitude du plan de rapport
.
Cette composée n'est pas commutative.
Plus particulièrement, la composée de
isométries est une isométrie.
La composée de deux similitudes directes est directe.
La composée de deux similitudes indirectes est directe.
La composée d'une similitude directe et d'une similitude indirecte est indirecte.
Que vaut 
? Qui est 
?
3)
est une similitude indirecte et aussi donc est une similitude directe
qui a, d'après le cours, pour écriture complexe :
.
Donc 
, d'où 
.
est la transformation identique et 
puisque 
, donc 
.
L'écriture complexe de est : ,
l'écriture complexe de
est :
,
donc l'écriture complexe de
est .
4) Caractériser les similitudes indirectes par leur forme complexe.
Relire les résultats des questions 2) et 3).
4) D'après la question 2), si
est une similitude indirecte, alors son écriture complexe est et son rapport est .
D'après la question 3), si l'écriture complexe de
est , alors
est une similitude indirecte.
Donc :
est une similitude indirecte si et seulement si son écriture complexe est (son rapport est ).
5) Dans quel cas l'écriture où est-elle la forme complexe d'une isométrie ?
Une isométrie est une similitude particulière.
5) L'écriture complexe est celle d'une similitude indirecte de rapport ; elle est une isométrie si et seulement si 
si et seulement si 
.
Étude de la similitude indirecte
d'écriture complexe : 
1) Quels sont les points invariants par
?
peut-elle être une symétrie axiale ?
Un point
est invariant par une transformation
du plan si et seulement si 
.
Un point
d'affixe 
est invariant si et seulement si 
.
1) Le point
d'affixe
est invariant si et seulement si si et seulement si 
.
Soit avec 
; on obtient :
admet un seul point invariant : le point de coordonnées 
.
Une symétrie axiale ayant une infinité de points invariants,
n'est pas une symétrie axiale.
De plus, le rapport de
étant 
,
n'est pas une isométrie.
2) Soit
l'homothétie de rapport
et de centre le point 
d'affixe 
.
a. Donner l'écriture complexe de 
.
b. Déterminer l'ensemble des points invariants par .
c. Caractériser
.
a.
est la réciproque de l'homothétie 
; les éléments caractéristiques de
sont donc connus.
b. Résoudre
comme au 1).
c. Trouver les éléments caractéristiques de .
a.
est l'homothétie de centre et de rapport
.
c. Que dire d'une similitude qui a au moins deux points invariants ?
2) a.
Soit 
l'image de par
et 
l'image de par
et 
.
On a 
.
est l'homothétie de centre et de rapport
donc 
.
D'où :
L'écriture complexe de est 
.
2) b.
est invariant par si et seulement si :
L'ensemble des points invariants par est la droite
d'équation
.
2) c.
est une similitude qui a une infinité de points invariants, c'est donc l'identité ou une symétrie axiale.
Comme est une similitude indirecte, d'après son écriture complexe du 2.a), est la symétrie axiale par rapport à la droite
d'équation
. On la note 
.
Donc 
alors : 
donc
est la composée de l'homothétie de centre et de rapport
et de la symétrie axiale par rapport à la droite
d'équation
.
On remarque que 
et il est facile de vérifier : 
.
Observez les images de
par
et
(Java - env. 150Ko)
Étude de la similitude indirecte
d'écriture complexe : 
1) Rechercher les points invariants par
. Que peut-on en conclure ?
Un point
est invariant par une transformation
du plan si et seulement si .
Un point
d'affixe est invariant si et seulement si .
1) Le point
d'affixe
est invariant si et seulement si
si et seulement si 
.
Soit avec :
Donc
n'a pas de point invariant. Mais 
donc
est un antidéplacement qui n'a pas de point invariant, ce n'est pas une symétrie axiale.
2) Soit
l'image de
par 
et
la translation de vecteur 
.
Déterminer l'écriture complexe de 
.
Trouver l'affixe de
; quelle est l'écriture complexe d'une translation ?
Rappel du cours sur l'écriture complexe d'une translation :
Au point
d'affixe
, on associe par la transformation
le point
d'affixe
. Dans le cas où
est une translation de vecteur d'affixe
, on a la relation :
(
complexe).
Quelle est la translation réciproque de 
?
2) 
donc 
et 
donc 
.
Le vecteur a pour affixe 
.
est la translation de vecteur 
d'affixe 
. Soit l'image de par et l'image de par
alors :
et 
.
L'écriture complexe de
est 
.
3) Étudier les points invariants par
puis en déduire la nature de
.
Procéder comme au 1).
3) Le point
d'affixe
est invariant par
si et seulement si 
.
Soit avec :
L'ensemble des points invariants de
est la droite d'équation
.
est la composée d'une similitude indirecte
et d'une similitude directe donc
est une similitude indirecte. Ayant plus de deux points invariants,
est la symétrie axiale par rapport à la droite
d'équation
.
4) Prouver que
est la composée d'une symétrie axiale et d'une translation dont le vecteur est un vecteur directeur de l'axe de la symétrie.
Si alors 
.
4) On sait donc 
.
est la composée de la translation de vecteur 
et de la symétrie axiale par rapport à la droite
d'équation
, dont un vecteur directeur est bien .
est appelée : symétrie glissée d'axe
et il est facile de vérifier : 
.
Observez les images de
par
et
(Java - env. 150Ko)
