Similitudes directes, similitudes indirectes
Un problème de construction

Introduction

Prérequis : Cours de spécialité mathématiques sur les similitudes directes.

Durée : 90 minutes

Niveau : très progressif : de facile à difficile

Énoncé de l'exercice

et sont deux droites sécantes en et un point n'appartenant ni à ni à .

On se propose de construire, si cela est possible, un point sur et un point sur tel que le triangle soit rectangle isocèle direct en .

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1) Analyse

a. Montrer que si le triangle est une solution alors est l'image de par une similitude à préciser.

b. En déduire, si la construction est possible, la position de .

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2) Synthèse

Soit l'image de par .

a. Montrer que si est un point de et si alors le triangle est isocèle rectangle et direct en .

b. Décrire la construction de et de .

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3) Discussion

a. Étudier le cas où et sont sécantes. Combien le problème a-t-il de solutions ?

b. Étudier le cas où et sont disjointes.

c. Étudier le cas où et sont confondues.

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4) Approfondissement

Soit un point de , un point de tous deux distincts de . On désigne par le projeté orthogonal de sur .

On pose , et .

a. Montrer que le problème a une solution unique si et seulement si .

b. Montrer que si et si le triangle est rectangle isocèle en alors le problème a une infinité de solutions.

c. Dans quel cas le problème n'a-t-il pas de solution ?

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