Introduction
Prérequis : Cours de spécialité mathématiques sur les similitudes directes et le calcul intégral.
Durée : 90 minutes
Niveau : moyen
Le plan est rapporté au repère orthonormé direct 
.
Soit
le point d'affixe 
et
d'affixe
. Pour tout réel
, on considère les deux points
d'affixe 
et
d'affixe 
.
1) Montrer qu'il existe une unique similitude directe
telle que 
et 
.
Que dit le cours sur l'existence d'une similitude transformant deux points
et
en deux points
et
?
Rechercher s'il existe des valeurs de
pour lesquelles 
.
1) Les points
et
sont confondus si et seulement si :
Ce dernier système n'a pas de solution.
Donc pour tout réel
les points
et
sont distincts ainsi que
et
; il existe donc une unique similitude directe transformant
en
et
en
.
2) Donner l'écriture complexe de
puis préciser les éléments caractéristiques de
.
Quelle est la forme générale de l'écriture complexe d'une similitude directe ?
Écrire le système vérifié par
et
sachant que
et
se transforment en
et
.
2) L'écriture complexe de
est
où
et
sont deux complexes et
non nul.
, donc 
et , donc 
.
D'où le système :
L'écriture complexe de
est 
.
Déterminons les points invariants par
: 
Si
, alors 
, donc tous les points sont invariants et
est l'identité du plan.Si
, alors 
et l'unique point invariant de
a pour affixe
.
Dans les deux cas,
est la rotation d'angle
et de centre le point 
d'affixe
.
3) Soit
l'ensemble des transformations
pour
.
contient-il la transformation identique ? Montrer que, pour tout
et
de
, 
et 
sont des éléments de
et que 
.
Revoir le cours sur la composition de similitudes directes de même centre et la transformation réciproque d'une similitude directe.
3) La transformation identique est la rotation d'angle nul, c'est 
qui appartient à
.
est la rotation de centre et d'angle
donc 
appartient à
.
est la rotation de centre et d'angle
donc 
appartient à
.
Un ensemble ayant les propriétés précédentes est dit avoir une structure de groupe. Par exemple l'ensemble des similitudes est un groupe ; de même l'ensemble des translations. L'ensemble des homothéties n'est pas un groupe puisque la composée de deux homothéties de centres différents et de rapports inverses est une translation).
4) On pose 
, 
et pour tout entier naturel
non nul : 
.
a. Montrer par récurrence : 
pour tout entier naturel
.
b. Calculer les coordonnées du point 
en fonction de
et étudier la position limite des points quand
tend vers
.
a. Appliquer avec 
et 
où
est dans
.
b. Utiliser la forme complexe de
avec 
pour calculer l'affixe de
.
Puis appliquer le théorème sur la composition des limites d'une fonction et d'une suite.
est l'identité donc 
donc la propriété est vraie au rang
.
Soit
un entier naturel; supposons 
. Alors :
Donc la propriété est héréditaire et comme elle est vraie au rang
, elle est vraie pour tout entier
.
L'écriture complexe de 
est 
.
Si
désigne l'affixe de
alors, puisque :
Donc : 
.
et 
; par composition des limites : 
.
De même : 
donc : 
.
Donc : 
. La suite des points
tend vers l'origine.
Soit
l'ensemble des points 
tels que 
et on désigne par
l'image de
par 
.
1) Montrer que
a pour équation 
.
Désigner par 
l'image de par
.
Utiliser l'écriture complexe de pour exprimer
et
en fonction de
et de
.
1) D'après la deuxième question de la partie I, l'écriture complexe de est : 
.
Si on désigne par l'image de par alors :
donc 
ou 
est l'ensemble des points dont les coordonnées 
vérifient : 
.
Donc
a pour équation .
2) A l'aide de deux intégrations par parties, calculer 
.
Penser à vérifier les conditions sur les fonctions
et
dans la formule d'intégration par parties.
2) Soit
et
les fonctions définies par 
et 
;
et
sont dérivables sur
; 
et 
;
et
sont continues sur
donc d'après le théorème d'intégration par parties :
De la même façon :
Donc :
3) A l'aide d'une calculatrice graphique, tracer l'allure de
courbe représentative de 
et en déduire le tracé de
dans le même repère.
La calculatrice donne la courbe
image de
par , comment retrouver
?
Observez l'image
de
par la similitude (Cabri Java - env. 150Ko)
3) Observez l'image
de
par la similitude (Cabri Java - env. 150Ko)
4) Calculer l'aire du domaine limité par
, l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives :
et
.
Une isométrie conserve les aires.
4) 
donc 
, c'est-à-dire que
est l'image de
par la rotation de centre et d'angle 
.
La droite d'équation
passe par , son image par est une droite perpendiculaire passant par qui est donc l'axe des abscisses.
De la même façon la droite d'équation
a pour image l'axe des abscisses et l'axe des abscisses a pour image la droite d'équation
.
Le domaine délimité par
, l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives
et
a pour image par le domaine limité par
, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation
. étant une isométrie, ces deux domaines ont la même aire ; la fonction
est de façon évidente positive sur
, cette aire est :
