Introduction
Prérequis : Cours de spécialité mathématiques sur les similitudes directes.
Durée : 60 minutes
Niveau : moyen
Énoncé de l'exercice
Dans le plan
, on considère une droite
et un point
n'appartenant pas à
.
A tout point
de
, on associe le point
tel que le triangle
soit isocèle rectangle direct en
.
1) Déterminer la nature de l'ensemble
décrit par le point
lorsque le point
décrit la droite
.
2) Soit
le projeté orthogonal de
sur
et
le point tel que le triangle
soit rectangle isocèle direct en
.
Montrer que
est perpendiculaire à
en
. Construire
.
3) Soit
le centre de gravité du triangle
. On veut étudier le lieu 
des points
quand
décrit
. On désigne par
le milieu de 
, par
la mesure de 
appartenant à 
.
a. Calculer 
; en déduire que
est constant.
b. Évaluer 
.
c. Montrer que pour 
, 
. En déduire la valeur exacte de 
et de 
.
d. Déduire des questions précédentes la nature de .
e. On désigne par 
le milieu de 
et par 
le centre de gravité du triangle
; montrer que est perpendiculaire à 
en et construire .
