Introduction
Prérequis : Cours de spécialité mathématiques sur les similitudes directes.
Durée : 120 minutes
Niveau : quelques questions difficiles
Énoncé de l'exercice
Le plan est rapporté au repère orthonormé direct .
Soit
un nombre réel strictement positif,
un réel tel que
et
le nombre complexe de module
dont un argument est
. Pour tout entier naturel
, on considère les points
définis par :
,
est le point d'affixe
et, pour
,
est l'image de
par la similitude directe de centre
, de rapport
et d'angle
.
On note l'affixe de
.
1)
a. Ecrire, pour tout entier , une relation entre
,
et
.
b. Montrer par récurrence que pour tout entier :
.
c. Calculer en fonction de
et de
.
2)
a. Montrer qu'il existe une unique similitude directe
telle que
et
, puis préciser les éléments caractéristiques de
.
b. Montrer que pour tout entier naturel
:
.
c. On note la transformation identique du plan et, pour tout entier naturel
, on pose :
.
Soit
un entier naturel, montrer que pour tout
de
:
.
3) On pose .
a. Montrer que est une homothétie.
b. En déduire que les points appartiennent à quatre droites fixes à préciser.
4) On suppose dorénavant et
.
a. Préciser les éléments caractéristiques de
.
b. Montrer que, pour tout
de
, le triangle
est rectangle isocèle direct en
.
c. Représenter graphiquement les points puis
en choisissant
cm pour unité graphique.
d. Calculer en fonction de
. En déduire
.
e. Soit . Calculer
en fonction de
puis étudier
.