Introduction
Prérequis : Cours de spécialité mathématiques sur les similitudes directes.
Durée : 90 minutes
Niveau : facile
Soit
un triangle rectangle isocèle direct en
et
le milieu de 
.
1) Déterminer le rapport et l'angle de la similitude directe de centre
qui transforme
en
.
Calculer 
et 
.
1)
est le centre du cercle circonscrit au triangle
direct donc le triangle
est direct.
est isocèle en
donc le triangle
est direct et isocèle rectangle en
donc 
et 
.
La similitude de centre
qui transforme
en
a pour rapport 
et pour angle 
.
2) On rapporte le plan au repère orthonormé direct 
. Déterminer une écriture complexe de la similitude directe de centre
qui transforme
en
. En déduire son angle et son rapport.
Déterminer les affixes des points
,
,
et
.
L'écriture complexe d'une similitude directe étant
, trouver
et
.
désignant l'affixe du point
on a :
, 
, 
, 
Soit
la similitude directe de centre
qui transforme
en
. L'écriture complexe de
est
où
et
sont deux nombres complexes et
non nul.
et 
d'où :
Donc 
.
Or 
donc 
.
Donc
est la similitude directe de centre
, de rapport et d'angle .
Soit
un carré de sens direct, de centre
et
un point du segment 
distinct de
.La droite 
coupe 
en
; la perpendiculaire à en
coupe 
en
et en
. On désigne par
le milieu de 
et par
celui de 
.
1) Soit
la rotation de centre
et d'angle 
.
a. Quelle est l'image de la droite par
?
b. Quelles sont les images de
et
par
?
c. Déterminer la nature des triangles
et
.
a. Quelle est l'image d'une droite par une rotation ? Quel est l'angle de
?
b. L'image de
appartient à l'intersection des images de deux droites.
a. L'image de par
est une droite qui passe par l'image de
par
.
b.
appartient aux droites et 
.
c.
est une isométrie .
L'image de la droite par
est une droite
.
L'angle de
est donc
est perpendiculaire à .
étant un carré de sens direct , l'image de
par
est
, donc
est la droite passant par
et perpendiculaire à qui est . L'image de par
est .
est le point d'intersection des droites et .
transforme en donc l'image de
par
appartient à .
transforme la droite en une droite perpendiculaire à passant par
(image de
par
) c'est-à-dire en .
L'image 
de
par
est le point d'intersection de et de donc : 
.
De la même façon, on détermine 
:
. L'image de par
est 
, donc appartient à 
donc 
.
est la rotation de centre
et d'angle .
donc 
et
donc
est isocèle rectangle en
et direct.
De même donc
est isocèle rectangle en
et direct.
Observez les triangles
et
(Java - env. 150Ko)
2) Soit
la similitude de centre
, d'angle et de rapport .
a. Déterminer les images par
de
et
.
b. Quel est l'ensemble décrit par le point
quand
décrit privé de
?
a. Revoir les préliminaires.
b. Quelles sont les images de
et de
par
?
Observez le comportement de
en fonction de la distance
(Cabri Java - env. 150Ko)
Dans le triangle
rectangle isocèle direct en
, d'après la question 1) des préliminaires,
transforme
en
.
De même, dans le triangle
, on a 
.
Le triangle
est isocèle rectangle en
et direct donc, d'après les préliminaires : 
; de même dans le triangle
: 
.
transforme le segment en 
. Si
décrit privé de
alors
décrit privé de
.
Observez le comportement de
en fonction de la distance
(Cabri Java - env. 150Ko)
3) Montrer que les points
,
,
et
sont alignés.
Quelle est l'image de la droite par
?
3) Les triangles
et
sont isocèles rectangles et directs donc, d'après les préliminaires : et donc
transforme 
en 
.
appartient à , donc son image, qui est
d'après la question 2.a), appartient à l'image de qui est , donc 
, c'est-à-dire 
.
D'après la question précédente : 
donc 
.
Donc les points
et
appartiennent à la droite 
.
Observez le comportement des points
,
,
et
en fonction de la distance
(Cabri Java - env. 150Ko)
4) Montrer que
est un triangle rectangle.
Le triangle
est l'image d'un triangle par
.
4) D'après les questions précédentes : 
,
conserve les angles donc : 
.
Le triangle
est rectangle en
.
Observez le comportement des triangles
et
en fonction de la distance
(Cabri Java - env. 150Ko)
On se propose de retrouver, en utilisant les nombres complexes, certaines des propriétés obtenues dans la 1ère partie. On rapporte le plan au repère orthonormé direct 
.
1) Déterminer les affixes des points
,
,
et
; montrer que l'affixe de
est 
où 
.
Les vecteurs 
et 
sont colinéaires.
1) On a immédiatement : 
.
Comme 
alors : 
où 
; donc 
.
Alors : 
d'où 
où .
2) Soit
la rotation de centre
, d'angle . Calculer l'affixe de
.
En déduire l'affixe de
et la nature du triangle
.
Écrire la forme complexe de
.
2) L'écriture complexe de
est 
; l'affixe de est 
.
L'ordonnée est
donc le point est sur la droite ; mais
est d'angle , appartient à la perpendiculaire en
à la droite donc : .
L'affixe de
est donc 
et le triangle
est rectangle isocèle en
.
3) Calculer les affixes de
et
. En déduire la nature du triangle
.
Quelle est l'abscisse de
? L'ordonnée de
?
Envisager les produits scalaires : 
et 
pour trouver la coordonnée manquante.
3)
appartient à donc son abscisse est
; soit 
son ordonnée alors 
.
donc 
. Les droites et sont perpendiculaires donc 
.
Le repère est orthonormé donc 
.
D'où 
et 
où .
De la même façon : 
donc 
d'où 
.
Comme 
, alors : 
. Donc : 
.
On a 
donc 
, donc
est l'image de
par
, donc
est isocèle rectangle en
.
4) Déterminer une écriture complexe de
la similitude directe de centre
, d'angle , de rapport et montrer que 
.
Calculer l'affixe de l'image de
par
et reconnaître l'affixe d'un milieu.
4) L'écriture complexe de
est : 
.
L'affixe de l'image
par
est :
Donc 
est le milieu de donc .
5) Calculer 
où 
et 
sont les affixes respectives de
et de
; en déduire l'angle et le rapport de la similitude directe de centre
qui transforme
en
et la nature du triangle
.
Si 
alors
est l'image de
par la similitude de rapport 
et d'angle 
.
5) On sait que :
est le milieu de donc :
Alors :
Donc 
et
est l'image de
par la similitude de centre
, d'angle et de rapport 
.
Le triangle
est donc rectangle en
.
Faîtes varier la distance QM et observez (Cabri Java - env. 150Ko)
