Introduction
Prérequis :
Equation d'un plan de l'espace
Résolution d'équations diophantiennes
Durée : 60 minutes
Niveau : difficile
Dans l'espace muni d'un repère orthonormal 
, on considère
le plan d'équation
.
1) Montrer que les plans
et 
sont sécants suivant une droite
.
1) Un vecteur normal à
est 
et un vecteur normal au plan est 
.
Ces deux vecteurs 
et 
ne sont pas colinéaires donc les plans ne sont pas parallèles mais sécants suivant une droite
.
2)
a. Déterminer un couple d'entiers relatifs
solution de l'équation
.
b. Déterminer les couples d'entiers relatifs
solutions de l'équation
.
b. Revoir la méthode de résolution d'une équation diophantienne du type
avec
,
,
et
entiers et
.
2)
a.
. On reconnaît ici une identité de Bézout les nombres
et
étant étrangers. Le couple
est solution de l'équation
.
b. Du a. on déduit que le couple
est solution de l'équation
.
On a : 
donc par soustraction membre à membre : 
soit 
.
divise
et
est premier avec
donc d'après le théorème de Gauss,
divise
. Il existe
entier relatif tel que
. Il est donc nécessaire que
.
Cette condition est-elle suffisante ? Reportons dans l'équation initiale :
avec
entier relatif.
Les solutions entières de l'équation
sont donc les couples
avec
entier relatif.
3) Prouver que la droite
ne contient qu'un seul point dont les coordonnées sont des entiers naturels. Préciser les coordonnées de ce point.
Trouver un système d'équations caractérisant
.
3) Une équation du plan est
, donc les coordonnées des points de
sont solutions du système :
ou encore 
Un point
de
est à coordonnées entières positives si et seulement si ses coordonnées
vérifient :
, avec
entier.
D'où avec
entier : 
.
De même 
.
La seule valeur de
possible est
.
Les coordonnées du point de
à coordonnées entières positives sont :
.
4) Qu'en est-il pour la droite
intersection des plans
et ?
4) Le vecteur 
est un vecteur normal au plan 
. Il n'est pas colinéaire au vecteur donc le plan et le plan
sont sécants suivant une droite
. Les coordonnées des points de
vérifient : 
.
L'équation
n'admet pas de couples d'entiers relatifs solutions car le
de
et
est
et
n'est pas un multiple de
. La droite
n'admet pas de points à coordonnées entières.
Le but de cette partie est de déterminer tous les points
de
dont les coordonnées
sont des entiers naturels.
On suppose que de tels points existent.
1) Démontrer que
s'écrit
avec
entier naturel.
1) On suppose qu'il existe des entiers naturels
,
et
tels que
.
.
est donc un nombre pair.
étant impair,
doit être impair. La seule possibilité est alors que
soit impair.
Il existe donc un entier
tel que
et comme
est positif,
est un entier naturel.
2) Soient
le reste de la division euclidienne de
par
et
le quotient.
a. Montrer que
.
b. En déduire que
ou
.
a. Penser à la définition de la division euclidienne.
b. Trouver une relation entre
et deux des nombres
,
,
ou
.
a. Penser aux différentes valeurs possibles de
.
b. On peut obtenir
. Penser que
,
et
sont des entiers positifs.
2)
a. On a
avec 
. Remarquons que
et
étant des entiers naturels,
est aussi un entier naturel.
Remplaçons
par
et
par
dans l'équation cartésienne de
donnée.
devient
soit après simplification :
ou encore
.
Or comme
est divisible par
, il est nécessaire que
soit aussi divisible par
.
Les différentes valeurs possibles de
sont
,
et
. Nous allons étudier les différents cas.
Si
,
et
n'est pas divisible par
.Si
,
et
est divisible par
donc on ne peut exclure le cas
.Si
,
et
n'est pas divisible par
.
Donc
ne peut être égal qu'à
.
b. Avec
, l'équation
devient
. Or
,
et
sont des entiers naturels donc ils sont tous les trois positifs et inférieurs ou égaux à
. 
avec
entier naturel entraîne
. Donc les seules valeurs possibles de
sont
ou
.
3) Conclure
Discuter suivant les valeurs de
trouvées.
Récapitulons : nous cherchons les entiers naturels
,
et
, s'ils existent, qui vérifient l'équation
.
Nous avons vu qu'alors :
, avec
entier naturel et avec
ou
.
On a : 
, et comme les entiers naturels
,
et
sont positifs, 
.
On a : 
, et comme les entiers naturels
,
et
sont positifs, 
.
Nous avons donc trouvé toutes les conditions nécessaires à vérifier par les entiers naturels
,
et
pour qu'ils puissent être solutions de l'équation
.
La dernière colonne des tableaux nous prouve que ces conditions sont suffisantes puisque le résultat du calcul
est
.
Les points de
dont les coordonnées sont des entiers naturels sont donc :
, 
, 
, 
, 
, 
.
