, donc en prenant et .

est un entier et est non nul donc est un entier non nul. D'où, divise .

donc soit . De même d'où soit ou .

D'où est divisible par c'est-à-dire qu'il existe entier non nul tel que .

, donc d'après la question 1) soit ou encore et finalement .

Donc est divisible par .

On sait que est divisible par donc est divisible par . Or d'après la question précédente est divisible par , donc est divisible par . De même divise et est divisible par , donc divise . On voit apparaître un raisonnement par récurrence : pour entier supérieur ou égal à , est divisible par .

• Initialisation : la propriété est vraie pour car est divisible par .

• Hérédité : supposons que la propriété est vraie à un certain rang et montrons qu'alors elle est vraie au rang . Dans les exemples ci-dessus nous avons utilisé le résultat prouvé à la question 3). Il faut essayer d'écrire sous la forme . On a avec . D'où est divisible par (résultat question 3)). Or d'après l'hypothèse est divisible par puisque la propriété est supposée vraie au rang . On en déduit que est divisible par c'est-à-dire par . La propriété est vraie au rang .

• Conclusion : la propriété est vraie au rang et est héréditaire donc elle est varie pour tout entier supérieur ou égal à . Il existe donc une infinité de valeurs de pour lesquelles est divisible par , il suffit de prendre avec .