1) La méthode est classique et utilise la propriété (1) : tout diviseur de deux nombres divise toute combinaison linéaire de ces deux nombres. Il suffit ici d'écrire une combinaison linéaire de et indépendante de .

Dans le coefficient devant est et dans il est . On calcule donc : .

. divise et donc est un diviseur positif de . Les valeurs possibles de sont ou .

2) Nous allons démontrer ce résultat par une méthode classique.

Pour démontrer que nous allons établir les deux inégalités et .

D'après la question précédente divise et , donc divise . Comme et sont des nombres positifs on a : .

Réciproquement est le de et , donc est un diviseur positif de d'où il est égal à ou à .

On a . En réutilisant la propriété (1) : divise et donc divise . Or est premier avec ( ou ), donc d'après le théorème de Gauss divise . divise et donc divise et .

Finalement : et donc .

3) est égal à si et seulement si est égal à c'est-à-dire si et seulement si est divisible par soit si et seulement si il existe un entier tel que : .

.

On reconnaît ici une identité de Bézout et comme et sont premiers entre eux, cette équation a des solutions entières.

Soit le de et . On a une relation importante : .

donc, d'après la vérification ci-dessus, et , .

On remarque que et sont de même signe, ils sont tous les deux positifs si et tous les deux négatifs si . Donc .

Les solutions de cette équation sont et . Or est un entier donc la seule réponse est .

On obtient donc : .