Introduction
Prérequis :
Nombres premiers
Décomposition en produit de facteurs premiers
Durée : 50 minutes
Niveau : facile
On appelle nombre parfait tout entier naturel
dont la somme des diviseurs positifs est égale à
.
est un nombre parfait car 
.
A1)
est-il un nombre parfait ?
Les diviseurs positifs de
sont
,
,
,
,
et
.
, donc
est un nombre parfait.
A2) Euclide a énoncé la règle suivante : « Si un nombre
s'écrit 
et si le facteur 
est premier, alors
est un nombre parfait ». On se propose de démontrer ce théorème.
Posons 
avec premier.
a. Quelle est la décomposition de
en produit de facteurs premiers ?
b. En déduire la liste des diviseurs positifs de
. Combien y en a t-il ?
c. Démontrer que
est parfait.
Il existe une réciproque de ce théorème due à Léonard Euler (1707-1783) :
« Tout nombre parfait pair s'écrit avec premier ». La démonstration est trop compliquée pour être présentée ici. Le problème de savoir s'il existe des nombres parfaits impairs n'est toujours pas résolu.
b. Revoir le cours sur la décomposition d'un entier en produit de facteurs premiers.
c. Repérer dans la somme les termes indépendants de
.
Penser à la somme des premiers termes d'une suite géométrique.
a. Nous avons avec premier. Nous remarquons qu'alors
est différent de
. En effet est égal à
si et seulement si
et
n'est pas un nombre premier.
Pour
strictement positif,
est différent de
.
est un nombre premier et aussi par hypothèse donc la décomposition de
en produit de facteurs premiers est .
b. Soit
un entier dont la décomposition en produit de facteurs premiers est : 
où 
sont des nombres premiers, 
sont des entiers strictement positifs. Alors les diviseurs positifs de
sont les nombres : 
avec pour tout
entier tel que 
, 
.
b. Les nombres premiers
et sont respectivement élevés dans la décomposition de
à la puissance
et
. Les diviseurs positifs de
sont les nombres 
, soit
, 
et 
avec 
. Il y a
façons de choisir l'exposant dans
et pour chacune de ces façons il y a 2 façons de choisir l'exposant de , (exposant
ou
). Il y a donc
diviseurs positifs de
.
c. Soit
la somme des diviseurs positifs de
.
car le nombre ne dépend pas de
; il est donc constant et peut être mis en facteur dans la seconde somme.
On peut encore factoriser
et obtenir 
soit 
.
Calculons 
. Nous reconnaissons la somme des
premiers termes de la suite géométrique des puissances de
. 
.
D'où 
, soit 
. On reconnaît à l'intérieur des crochets le nombre
donc
. Le nombre
est bien un nombre parfait.
et 
.
Nous avons prouvé dans la partie A que les nombres où est premier, sont parfaits. Est-il simple de trouver ces nombres premiers ?
Le mathématicien français Marin Mersenne (1588-1648) affirme que les nombres 
sont premiers pour certaines valeurs de
:
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
. Il fait une erreur pour
et oublie des valeurs. A l'heure actuelle il est prouvé que est premier pour
valeurs de
inférieures ou égales à
.
Nous allons prouver que : si est premier alors
est premier.
B1) Montrer que pour tout
réel et
entier naturel non nul : 
.
Calculer 
pour
.
Pour
l'égalité est vérifiée car
donc le premier membre de l'égalité est nul et
donc le second membre est nul lui aussi, d'où l'égalité.
Pour
, est la somme des
premiers termes de la suite géométrique des puissances de
. On a 
d'où 
.
Cette factorisation de
est à retenir. Elle est souvent utilisée.
B2) Démontrer que 
où
et
sont des entiers naturels non nuls est divisible par 
.
Utiliser la factorisation de l'expression de la question B1)
D'après les propriétés sur les puissances 
.
Appliquons la propriété de la question 1) en posant : 
et
.
Il vient : 
.
et 
sont des nombres entiers non nuls (
), donc est divisible par .
B3) Conclure.
Soit
un diviseur positif de
. Déterminer les valeurs possibles de
.
D'après la question B2), 
divise .
Nous allons montrer la proposition : si est premier alors
est premier.
Soit
un diviseur positif de
.
D'après la propriété de la question 2), est un diviseur positif de .
Or est un nombre premier donc 
ou 
.
La première égalité donne
et la deuxième
. Les seuls diviseurs positifs de
sont
et
, donc
est un nombre premier.
Nous avons montré que si est premier alors
est premier.
Remarquons que la réciproque de cette propriété est fausse.
La réciproque est : Si
est premier alors est premier. Prenons
,
est premier or 
n'est pas premier.
