Exo 7
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
On considère le plan affine euclidien
de repère orthonormé
.
Question
Construire la courbe
de représentation paramétrique :
.
La fonction
est définie sur
et elle est paire.
La fonction
est définie sur
et n'est ni paire ni impaire.
Donc la représentation paramétrique est définie sur
.
On ne peut pas réduire l'étude.
Etude lorsque t tend vers l'infini
A l'infini :
et
. Donc :
et
.
Donc la courbe
admet une asymptote verticale d'équation
.
Etude lorsque t tend vers (-1)
, et :
. Donc :
et
.
Donc la courbe
admet une asymptote horizontale d'équation
.
Et :
, donc :
.
Donc, lorsque
tend vers
, la courbe est en dessous de l'asymptote, et lorsque
tend vers
, la courbe est au dessus de l'asymptote.
Etude lorsque t tend vers 1
Il y a une branche infinie car :
et :
.
Donc on calcule :
.
Et :
.
Donc la courbe admet une asymptote oblique d'équation :
.
De plus :
. Donc :
.
Donc, lorsque
tend vers
, la courbe est en dessous de l'asymptote, et lorsque t tend vers
, la courbe est au dessus de l'asymptote.
Etude des variations
Les fonctions
et
sont de classe
sur
.
. Donc :
et
.
. Donc :
si et seulement si
ou
.
Et :
si et seulement si
ou
.
Etude du point de paramètre 0
Le point de paramètre
est un point singulier car
.
Pour étudier la nature de ce point, il faut trouver les deux premières dérivées non nulles.
On remarque que :
, et
.
Donc, si
:
, et
.
Donc :
, et
pour tout
.
Donc les deux premiers vecteurs dérivés non nuls sont d'ordre
et
.
Donc le point de paramètre
est un point de rebroussement de première espèce.
Et, au point de paramètre
, la tangente a pour vecteur directeur
.
Tableau de variations
Courbe
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