Courbes planes

Exo 4

Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.

Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.

Une solution détaillée vous est ensuite proposée.

On considère le plan affine euclidien de repère orthonormé .

Construire la courbe de représentation paramétrique : .

Les fonctions et sont définies sur .

Réduction de l'étude

La fonction est périodique de période et la fonction de période .
Donc : et : .
Donc on réduit l'étude à un intervalle de longueur , par exemple . On obtiendra ainsi toute la courbe.
De plus : et : .
Donc on réduit l'étude à l'intervalle et on complètera la courbe par symétrie par rapport à l'axe des abscisses.
De plus : et : .
Donc on réduit l'étude à l'intervalle et on complètera la courbe par symétrie par rapport au point .

Etude des variations

Les fonctions et sont de classe sur , donc sur .

. Or : .

Donc : si et seulement si ou , donc si ou .

Et : si et seulement si , donc si .

. Or : .

Donc : si et seulement si , donc si .

Et : si et seulement si , donc si .

Tableau de variations

Tous les points sont réguliers puisque et ne s'annulent pas simultanément.

Courbe

Au point de paramètre , la tangente est verticale.
Au point de paramètre , la tangente est horizontale.
Au point de paramètre , la tangente est verticale.
Au point de paramètre , la tangente a pour vecteur directeur .
Si , on a : et : .
Donc les deux premières dérivées non nulles sont les dérivées d'ordre et .
Donc le point de paramètre est un point d'inflexion de la courbe.

On complète ensuite la courbe d'abord par symétrie par rapport au point , puis par symétrie par rapport à l'axe des abscisses.

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