Exo 12
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Soit
où
ou
.
On rappelle que l'espace vectoriel
peut être muni de trois normes usuelles :
Si
, alors :
,
et
.
On considère l'endomorphisme
qui à tout polynôme
associe son polynôme dérivé
.
Question
Déterminer la norme de
subordonnée à la norme
.
Commencez par démontrer une majoration.
Remarque :
L'application
est un endomorphisme d'un espace vectoriel normé de dimension finie.
Donc
est continue sur
pour toutes les normes définies sur
.
Si
, on a :
, donc :
.
Or :
, donc :
.
La norme subordonnée de
est :
. Donc :
.
De plus, si
, on a
. Donc :
et
.
Conclusion : La norme de
subordonnée à
est
.
