Exo 9
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Les questions suivantes sont indépendantes.
Soit
la fonction définie par :
.
Question
Montrer que la fonction
admet une limite en
.
Montrez que la seule limite possible est
et majorez
à l'aide de la norme de
.
Remarque :
Il s'agit de fonctions de
dans
.
L'espace vectoriel
étant de dimension finie, on peut choisir n'importe quelle norme, par exemple :
. Et sur
, on utilise la valeur absolue.
On peut remarquer que :
, donc que :
.
Donc, si
admet une limite en
, cette limite est nulle.
, donc :
.
Or :
et :
.
Donc :
et :
.
Donc :
.
Donc :
.
Conclusion : La fonction
admet en
la limite
.
Soit
la fonction définie par :
et :
.