Espaces vectoriels normés

Exo 9

Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.

Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.

Une solution détaillée vous est ensuite proposée.

Les questions suivantes sont indépendantes.

Soit la fonction définie par : .

Question

Montrer que la fonction admet une limite en .

Indice

Montrez que la seule limite possible est et majorez à l'aide de la norme de .

Solution

Remarque

Il s'agit de fonctions de dans .

L'espace vectoriel étant de dimension finie, on peut choisir n'importe quelle norme, par exemple : . Et sur , on utilise la valeur absolue.

On peut remarquer que : , donc que : .

Donc, si admet une limite en , cette limite est nulle.

, donc : .

Or : et : .

Donc : et : .

Donc : .

Donc : .

Conclusion : La fonction admet en la limite .

Soit la fonction définie par : et : .

Question

Montrer que la fonction est continue en .

Indice

Majorez à l'aide de la norme de .

Solution

.

Or, en reprenant les inégalités précédentes : .

Donc : .

Donc : .

Conclusion : La fonction est continue en .

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