Exo 11
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Question
Démontrer que l'application de
dans
qui à toute matrice associe son déterminant est continue.
Utilisez l'expression du déterminant en fonction des coefficients de la matrice.
L'espace vectoriel
est de dimension finie. Toutes les normes sont donc équivalentes.
Considérons la norme
. Si
, alors :
.
Pour tout
, l'application
est linéaire.
Et :
. Elle est donc continue en
.
Donc, pour tout
, l'application
est continue sur
.
L'application
est une fonction polynômiale des coefficients de la matrice, donc composée de fonctions continues.
Conclusion : L'application
est continue sur
.
Question
Démontrer que l'application qui à toute matrice associe son polynôme caractéristique est continue.
Utilisez l'expression du polynôme caractéristique.
Le polynôme caractéristique d'une matrice
est défini par :
.
Les coefficients
sont des fonctions polynômiales des coefficients de la matrice
.
Toutes les applications
sont donc continues sur
.
Conclusion : L'application
est continue sur
.
Question
Démontrer que l'application qui à toute matrice associe sa transposée est continue.
L'application
est linéaire, et si
, alors
.
Donc :
. Elle est donc continue en
.
Conclusion : L'application
est continue sur
.
Question
Démontrer que l'application qui à toute matrice carrée inversible associe son inverse est continue.
Utilisez l'expression de l'inverse d'une matrice et justifiez la continuité de la comatrice.
L'inverse d'une matrice
inversible est définie par :
.
La comatrice de
est une matrice dont les éléments sont des déterminants de matrices extraites de
, donc des fonctions polynômiales des coefficients de
. Donc l'application
est continue sur
.
De plus les applications
et
sont continues sur
.
Donc l'application
est continue sur
.
Conclusion : L'application
est continue sur
.
