Exo 10
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Question
Etudier la fonction
définie par :
et donner l'allure de sa courbe représentative.
Etudiez la continuité de la fonction :
pour trouver l'ensemble de définition de
.
Utilisez des encadrements pour trouver les limites de la fonction
.
La fonction
:
est continue sur
.
Donc la fonction
est définie si :
ou
, donc sur
.
Etude des variations :
Les fonctions
et
sont dérivables sur
.
Donc la fonction
est dérivable sur
.
Soit
une primitive de
sur
:
.
Donc :
.
Or le signe de
est le même que celui de
. Donc :
.
Donc la fonction
est strictement croissante sur
et sur
.
Etude en
:
, et :
.
Donc :
.
Donc :
, donc :
.
Or :
, donc :
.
Donc la fonction
est prolongeable par continuité en
en posant :
.
Et :
. Donc le prolongement est dérivable en
:
.
Etude en
:
Par concavité :
, donc
.
Donc :
. Ces trois termes sont de même signe.
Donc :
. Et :
.
Donc :
, donc :
.
Donc :
. Donc :
.
De même :
. Et :
.
Donc :
, donc :
.
Donc :
. Donc :
.
Donc la fonction
est prolongeable par continuité en
en posant :
.
Et :
. Donc le prolongement est dérivable en
:
.
Etude en
:
et
.
Donc :
.
Donc :
. Or :
.
Donc :
et
.
La courbe de
admet en
une branche parabolique de direction
.
