Fonctions définies par une intégrale
Il s'agit d'étudier la continuité et la dérivabilité de fonctions définies par des intégrales.
On s'intéresse d'abord au cas le plus simple : celui où la variable n'apparaît que dans les bornes.
Rappel :
Si la fonction est continue par morceaux sur un intervalle de et si , la fonction est une primitive de sur .
Donc la fonction définie sur par : est continue et dérivable sur et .
Fondamental :
Soit une fonction continue par morceaux sur un intervalle de .
Soient et sont deux fonctions définies sur un intervalle de à valeurs dans .
Si et sont continues sur , alors la fonction est continue sur .
Si et sont dérivables sur , alors la fonction est dérivable sur .
En effet : où est une primitive de sur .
Et, si et sont dérivables : .
Exemple :
Exemple : La fonction définie par : est continue et dérivable sur et : .
On s'intéresse ensuite au cas où la variable apparaît sous le signe .
Soient et deux intervalles de et soit une fonction définie sur à valeurs réelles ou complexes.
On suppose qu'il existe une fonction telle que : .
Donc, pour tout , l'intégrale : est convergente. Donc la fonction est définie sur l'intervalle .
Fondamental :
Continuité
On suppose que :
il existe une fonction telle que : .
pour tout , la fonction est continue par morceaux sur .
pour tout , la fonction est continue sur .
Alors la fonction définie par : est continue sur .
Remarque :
Cas particuliers :
Si la fonction est continue sur , les hypothèses et sont vérifiées.
Si l'intervalle est un segment et si la fonction est continue sur , alors la fonction est continue sur .
Le théorème reste vrai si l'on remplace l'hypothèse de domination par une hypothèse de domination locale :
Pour tout segment inclus dans , il existe une fonction telle que : .
C'est une hypothèse moins forte puisque la fonction dépend alors du segment .
Exemple :
Exemple : La fonction définie par : est continue sur .
En effet : . Or la fonction est continue et positive sur .
De plus elle est intégrable sur car qui est intégrable : .
Et la fonction est continue sur , donc vérifie les hypothèses et .
Fondamental :
Dérivabilité
On suppose que :
pour tout , la fonction est continue par morceaux et intégrable sur .
la fonction possède une dérivée partielle .
il existe une fonction telle que .
pour tout , la fonction est continue par morceaux sur ,
pour tout , la fonction est continue sur .
Alors la fonction définie par : est de classe sur et : .
Remarque :
Cas particuliers :
Si les fonctions et sont continues sur , les hypothèses et sont vérifiées.
Si l'intervalle est un segment et si les fonctions et sont continues , alors la fonction est de classe sur .
Comme précédemment, le théorème reste vrai si l'on remplace l'hypothèse de domination par une hypothèse de domination locale.
Exemple :
Exemple : La fonction définie par : est de classe sur .
En effet, on a vu que pour tout , la fonction est continue et intégrable sur .
La fonction définie par : admet une dérivée partielle : qui est continue sur .
De plus : . Or la fonction est continue et intégrable sur : .
Donc est de classe sur et : .