Exo 15
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
On considère la série de terme général
.
Question
Quelle est la nature de la série de terme général
?
Déterminez un équivalent de
.
Remarque :
car
et
.
Donc :
. Mais :
.
Donc la série
est définie pour
.
On pose :
. Donc :
.
Au voisinage de
:
. Donc :
.
et au voisinage de 0 :
.
Donc :
. Donc :
. Donc :
.
Donc les séries
et
sont de même nature.
Or la série de Riemann
est divergente (
).
Conclusion : La série
est divergente.
Question
Question
Quelle est la nature de la série de terme général
?
Déterminez un équivalent de
.
On pose :
. Donc :
.
Au voisinage de
:
. Donc :
.
Donc :
avec
, donc :
.
Or, au voisinage de
:
.
Donc :
.
Et :
. Donc :
.
Donc :
. Donc :
.
Donc les séries
et
sont de même nature.
Or la série de Riemann
est convergente (
).
Conclusion : La série
est convergente.
